DE DEUX VARIABLES ET A QUATRE PERIODES. 389 



en y multipliant le terme qui répond aux indices m et n par la 

 quantité 



(m l.)|;,iH-l"A)' (n log^ + amA)- •'"'■ > 



3 log p ï log 7 •> ■';*>(, 



e 



or, si log/), log 7 et ( 4A=— log/j logf/ ), sont des quantités 

 négatives, cette quantité est toujours moindre que l'unité', et en 

 même temps, la série précédente converge pour toutes les valeurs 

 finies, réelles ou imaginaires, de v et de w; par conséquent, la 

 série <p,,,{v, iv), dans ce cas, en convergera plus rapidement 

 encore. ' '  



Supposons donc que les trois quantités log/), log q, 4 A'— log/) log^ 

 sont toujours négatives, alors la série Ç>,_, [v, w) aura, comme 

 nous venons de le voir, une valeur unique et finie pour toutes 

 les valeurs finies, réelles ou imaginaires, des deux arguments v 

 et II'. Je remarque encore que pour A — o cette série se réduit au 

 produit Q--, {v,p) . S", [w, q). 



3. 



La série (p,,, (y, w) est une fonction doublement périodique de 

 V et w aux paires d'indices conjugués iir et o, o et m; car on a 



(35) .,„,. .:r;,y 



a étant un nombre entier quelconque. La relation qu il y a ici 

 enti'e les quatre indices de période ne donne pas un caractère 

 spécial à cette double périodicité; car, en substituant D=ar,+ iiiii, 

 u) = ci>,-rc/M;, , on peut déterminer les quatre constantes a, h, c, d, 

 de sorte que les quatre indices de période, pour la fonction trans- 

 formée, soient des quantités données. 



' Excepté pour mnftr^o, où elle est égale à l'unilé. V 



