390 SUR LES FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES 



,3 



Qu'on multiplie maintenant la fonction (p, , [v,w ; par e , 

 ie produit jouira encore d'une double périodicité, mais ses paires 

 d'indices conjugués seront log/), 2 A et 0, m; Car on obtient 



logn "ï — 4- OC logp 



(36) e ^,,, [v, u>) = _2 e S-, (R' + 2mA, 9] 



m=— co 



et cette fonction ne varie pas, si l'on y met à la place de v, w, 

 ou v+\ogp, u-' + aA, ou V, iv+in. 



De la même manière, on voit que la fonction de v, w 



(37) e <p,„[v,w]=z 2 e S-, (D4-2nA. /)) 



n=— 00 



est doublement périodique aux paires d'indices conjugués (7r,o et 

 2A, log q. 



.4. 



Les deux dernières équations donnant 



<p,., [v, w] = e <p,,, i(i;-(31ogp-t-2>'A;. ^u.+ajSA^ylog?) j, . 



°^ J I j. .U , ï - -' 'il TTU» 



M = ^' iog/)+7' log 7 + 4(37A+2(3i'+27U), 



cl 



et où |S et y désignent des nombres entiers quelconques; je me 

 propose de trouver la fonction la plus simple de v et de ii\ la- 

 quelle, multipliée par (p,_, [v, iv), rende le produit doublement 

 périodique aux paires d'indices conjugués log/), 2 A, et 2 A, loge/. 

 En désignant ce facteur par e^<' "' , on voit que/(r, w) ne pourra 

 être que de la forme 



