394 SUR LES FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES 



pour leurs valeurs 



m=+co j i'-t-2nA + m log /) j- n=+oo j m-l- 2 wiA H- n iog ^ j 



S e '°g/' et Se '"g '/ ; 



et par ces équations on voit que la fonction doublement pério- 

 dique (y'''"' 1^3, (d,m') exprimée en v et w a les paires d'indices 

 conjugués iog p, et 2 A, i ; et que ses paires d'indices deviennent 

 iogq, et 2 A, 1 , si on la considère conime l'onction des argu- 

 ments w et V. 



On peut se servir des deux, dernières formes de e '" (p, , [v, w) 

 pour trouver les relations qui existent entre les fonctions ^3,, aux 

 arguments réels et celles aux arguments de la forme iv, iv ou de la 

 forme v, m. On en obtient la première en développant la forme 

 (44) selon les cosinus et les sinus des multiples de l'argument 



j^^ , à l'égard duquel seul elle est simplement périodicpe, à l'in- 

 dice de période 27r; et on a de même l'autre relation entre les 

 fonctions 0,,„ aux arguments réels, et celles aux arguments de la 



forme v et iw en développant la forme [4 5) de c ''"'' (p, ,[v, w) 

 suivant les cosinus et les sinus de ~ . Mais il suffira d'en avoir 



log, 



trouvé une, parce que l'autre en résultera, si l'on y met et les ar- 

 guments V et w et les modules p et 7 les uns aux places des 

 autres. 



Par la combinaison de ces deux relations, on déduira la l'or- 

 mule de réduction des fonctions (p,_, (r,M.) aux arguments de la 

 forme iv, iw de celles aux arguments réels, et cette dernière doit 

 être la même que celle que l'on pourra trouver en développant 



la forme (4o) dee"^ "'"' «p,,, (y, w) suivant les cosinus et les sinus 

 des multiples de 2V7r et de awir. 



