DE DEUX VARIABLES ET A QUATRE PÉRIODES. 395 



On a donc seulement à faire le développement de Tune des 

 deux formes (44) et (45) : prenons la forme (44)- 



On voit que, pour en avoir le développement suivant les cosinus 



et les sinus des multiples de , on n'am-a gu a développer de 



cette manière la fonction e '"sp S-, [v -+- anA, p), et que le dé- 

 veloppement de celle-là marchera seulement suivant les cosinus 

 des multiples de '' "*" '" 27r. 



Ce développement est connu par la théorie des fonctions ellip- 

 tiques : il est représenté par la formule 



e(o, k] ~ V A-' (j [o,k'] 



dérivée par M. Jacobi dans ses Fund. nova (p. i65), laquelle au 

 moyen des formules 



0(0, A) = y/ZÏ, 6 (0, /.')=: v/I^, 



peut être mise sous la forme 



e((«4-K,A) = y/^e'^e (« -^K', A-'); 

 ou dans nos signes 



e, [m, k)=\/~e '^^^ e,{u,k'), 

 ou bien 



e^^ e, {a,k) = y/^03 [iu.k'). 



_,. ,, p iTTO lira , . wK' 



31 Ion y met enhn — —- = v, —— = y, los;p=r - — — , 



•' sK aK °' k 



1 , "K- 



log/3 =: , on en tu'e 



(46) ,... ^^ (,,,,) ^y'_^^^(,„',^^ 



log/) 



5o* 



