398 SUR LES FONCTIONS ULTR A-ELLIPTlQliES 



ou 



iogp. log/;,' + 4 AA,'=log<y. log</, +4AA,'=7r\ Alog^,'+A,'log</=o 



(log/jlogy-d A') (log/),'log<7/-/iA,'')=7r', Alog7/+A;iog/3=o 



1 ._ ^'"g? I r ^' log P A ,_ 'l'A 



Sl^'^ logplogy-4A' ' ™'~ log;. log9- i A' ' ' ~ ~ log p log y - 4 A' 



log«= ^^^ , log7= ^^^^ , A= "^^^ 



^1 log/>/log9,'-4A,'= »' log/),' logï,'-4A/' logp,'logy,'-4A,' 



ir îog/î— 2 Al 

 l'. = TT -; 7^ — — , lt\ =1t 



log/i log^ — 4A' 

 W|' '"g p/ — 2A,' u,' 



" = ''I' ; —, ; r, W = TT 



log/), . log 9, —4 A, -■ log/), log</, — 4 A, ' 



V, = —log/), +2 A,—, M-, =— l0g7,+2A,— 



"/ 1 . "1' "il , A ''1' - 



V = — logp -+- 2A— , «) =— logg + aA- 

 Comme — — sont les mêmes fonctions de u et mj que celles 



que j'ai désignées ci-dessus par v et w, on voit que le dernier 

 théorème donne en effet le développement de la formule (4o) 

 suivant les cosinus et les sinus des multiples de 2V7î- et de 



2\V7r. 



Les formules des trois théorèmes précédents sont arrangées 

 de manière qu'elles font voir que tous les trois permettent l'in- 

 version. On y peut mettre, sans rien changer, pour logp, logç 

 leurs valeurs complètes log/) -f- 2fX(7r, log^ H- 2jx'i7r et même 

 log/) -|-(2fA-)- il (TT, log 7 H- (2 fi' H- 1) (TT, si en même temps on 



met V -\ , u' -H pour v, iv; et 2A peut aussi dans toutes les 



formules précédentes être augmenté de vin, sans qu'elles cessent 

 d'être vraies, (x, fi', v désignant des nombres entiers quel- 

 conques. En substituant donc dans les formules des trois théo- 

 rèmes précédents log/)-(- fAiTr, logfyH-fx'iTr, 2A-!-i'i7r poui/», q, 



