DE DEUX VAKIABLES ET A QUATRE PÉRIODES. 399 

 2,\, et en ayant égard a ce que 1 on mette en même temps rH 



pour V SI fx est uîipair, et w -\ pour %v si ft 1 est, on en oJ)tient 



des théorèmes plus généraux qui, répétés plusieurs fois, donnent 

 toutes les formes différentes que peut prendre une même fonc- 

 tion (^3 3 (y, w). Mais le temps me manque pour pouvoir traiter 

 ici cette matière plus amplement, et je dois me borner aux 

 formules données, dont, comme on le verra, on pourra se servir 

 pour passer de la transformation analytique de la fonction <p,,3(î', iv], 

 qui dépend de la division de l'indice de période in, aux autres 

 qui dépendent des divisions des autres indices. 



La fonction (p3,,{v, w) a la propriété commune avec la fonc- 

 tion S'j (y), que les puissances et les produits d'un nombre quel- 

 conque de ces fonctions peuvent être exprimés linéairement par 

 des fonctions de la même forme, mais aux modules différents. 

 Pour avoir ces expressions je forme le produit des n fonctions 



<?j,-. {v-\-ak, w-hh) qui répondent aux n valeurs i , 2, 3, n de 



l'indice h : si l'on désigne par 



n S;, le produit S, .Sj.S. S„._,.S„, on obtient de l'équation 



/.= . 



<p,,,{v+ai„iv+bh,p,q,A) 



2 p"'- e'"'^"^'"'' ^,\w-^h+2mA,q\, 



le produit cherché 



1 <p..,..{v+au,w-^bi,,i),(i, \) = 1. 



ni,'-i-ni,'+ . . . -^ m,' ■i{m:+m,+ . . .H-mJ i'-t-2 (m,a|-t-»i,tt,+ . . .+Mi„a„J 

 P ^ 



X n S-, |u) -H 6a -1-2 m/, A, <)\ 



