436 SUR LES FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES 



J v-(-^''>^f)ly''>'C) ~ J j_ J jj 





Voilà la nouvelle relalion enlre les intégrales définies dont j'ai 

 déjà fait mention. Pour prouver qu'elle a lieu identiquement, 

 c'est-à-dire indépendamment des valeurs de /., >., fx, j'ai d'abord 

 essayé de la déduire au moyen du théorème Abélien sur l'addi- 

 tion des intégrales des fonctions algébriques qui, d'après une 

 remarque de M. Jacobi, peut être étendu aux intégrales mul- 

 tiples; mais je n'en tirai que le résultat négatif, que l'équation 



{x-y)ilxdY [Xt-y,\,dj:,dy, 



n'avait point d'intégrale algébrique si les variables x y ,r, y, sont 

 dans les intervalles dont il s'agit. J'eus donc recoms au dévelop- 

 pement en séries, et en développant les deux intégrales doubles 

 suivant les puissances de >'— fx.% je trouvai toutes les deux égales 

 à la même série. Mais la comparaison des deux développements 

 et la déduction de ces derniers exigent aussi un calcid très-fati- 

 gant, et il est très-difEcile d'en mettre les termes généraux sous 

 une forme élégante. Il me vient donc fort à propos d'en trouver 

 une démonstration directe qui sans le moindre calcul et par la 

 seule force du raisonnement, montre que féquation (ii6) a 

 lieu indépendamment des valeurs des modules k, X, fA. Elle est 

 fondée sur les propriétés des fonctions continues d'un sens équi- 

 voque, c'est pourquoi je dirai préalablement quelques mots sur 

 ces fonctions. ' 



Je nomme fonction de x à sens équivoque une fonction 

 dont la définition comprend plusieurs fonctions à la fois. Elle 

 aura donc en général pour chaque valeur de la variable, autant 

 lie valeurs qu'elle permet d'interprétations différentes, et de 



