938 SUh LES FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES 



lie soit convenu du signe de la racine carrée pour chaque in- 

 tervalle limité par a„, et a„^,. Mais, d'après la définition d'une 

 intégrale comme somme continue, on peut considérer de deux 

 manières dillérentes l'intégrale proposée, et l'intégrale d'une fonc- 

 tion à sens équivoque en général. Dans fune, on considère finté- 



grale de deux fonctions h — i-^ ^!— f comprises dans le même 



s/lT' \/x 



signe "^ '^ indifféremment, en y ayant seulement égard à ce que 



l'on conserve le principe de continuité en ne changeant le signe 

 de la fonction à intégrer qu'aux limites d'un intervalle a„, fl„, , ,. 

 Sous ce point de vue , qui n'a rien qui répugne à la définition d'une 

 intégrale, fintégrale proposée peut avoir toute valeur possible 

 réelle ou imaginaire, car étant arrivé de fl„ à a^^, on pourra, sans 

 violer la loi de continuité, retourner tant de fois que Ton voudra 

 à dm et de là encore à am+, , et changer le signe de la fonction à 

 intégrer toutes les fois cjue Ton est arrivé à fune de ces valeurs, 

 pourvu que Ton s'arrête enfin à la limite supérieure x de finté- 

 grale demandée. 



C'est de cette manière que M. Jacobi a démontré dans ses 

 leçons que la limite de fintégrale proposée est une fonction pé- 

 riodique de cette intégrale même. 



Sous l'autre point de vue, au contraire, on ne considère que 

 l'intégrale de fune des deux fonctions comprises dans le même 



signe y X. Ayant donc choisi celle dont on veut trouver fintégrale 

 tout est déterminé, si les limites de l'intégration ne surpassent 

 pas celles de f intervalle a„, a^^, ; elles pourront même les atteindre 

 sans que pour cela il y ait incertitude de signe; car arrivé à a„,^, 

 on ne pourra pas , comme dans l'autre cas , retourner à a„, après 

 avoir changé le signe, parce que celui-ci est, pour cet intervalle 



du moins, déterminé d'avance par la définition de \/X. Mais si 

 f intégration doit être étendue plus loin, le choix lUi signe devient 

 arbitraire; cependant, on peut toujours dès le conimcnceiiicnl po- 

 ser la définition de celle des deux fonctions à signes opposés , dont 



