DE DEUX VARIABLES ET A QUATHE PERIODES. 4/ll 

 Des quatre équations contenues dans les deux dernières, on 



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 où V'Y,,, et la même fonction de y,,, que celle que V^m est 

 de j;^. 



Celle somme M de deux intégrales doubles, représentée sous 

 les trois formes précédentes, est toujours égale à zéro. 



Pour le prouver, je remarque d'abord que la valeur de M ne 

 dépend que des différences des six quantités a,„, car en substituant 

 v — b pour x, u' — b pour j,„ on a le même résultat que si l'on 

 avait mis a^+b pour a^. Or M est aussi une fonction symétrique 

 des six quantités «„, , car elle ne varie point si Ton met deux quel- 

 conques d'entre elles, l'une à la place de l'autre. Cela se voit sans 

 peine en considérant premièrement que des trois expressions don- 

 nées pour M, cbacune prend la forme de la suivante et la troisième 

 celle de la première si l'on met pour chaque quantité a^, la sui- 

 vante a,„_^, et pour la sixième a^, la première a,; et en remarquant 

 ensuite que M ne varie pas non plus si l'on échange (suivant 

 Tordre) n, contre trois quelconques dos cinq autres quantités a,„. 

 La démonstration de cette dernière propriété est facilitée beau- 

 coup, si l'on choisit convenablement la forme M sur laquelle on 

 veut faire ledit changement; et comme l'intégrale dont il s'agit 

 s'évanouit si les limites supérieures et les limites inférieures sont 

 égales entre elles, on peut aussi se convaincre sans peine que M 

 a en effet la seconde propriété. On v doit seulement avoir égard 

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