390 SltliUOlRE SUR LES PROPIIIETES 



pour tous les s^^slemes de valeurs de X, Y, Z, 



X _ Y _ _Z^ 



du du du , par consequent , I'expression 



(Ix dy dz 



X dx -[- Y dy -|- Z dz , inullipliee par un facteur 

 convenable, doit devenir une diiFereniielle exacle; 

 or, ['equation qui exprime que cette condition est 

 satisfaite,est, connne on sait, 



^' ^ Vdz dy^ Vdx dz7 Vdy dz/ 



Lorsque cette condition est remplie, la fonction 

 u s'obtient par I'integration successive de deux 

 equations difFerentielles du premier ordre. 



II pourrait arriver que les droites des surfaces 

 u = « fussent normales aux surfaces v = f ; dans 

 ce cas, appelons p la longueur variable qu'il faut 

 porter sur les droites correspondantes a I'une des 

 surfaces u , pour que le lieu des points ainsi obte- 

 nus soit I'une des surfaces normales v , et soil 

 X, , Y, , z, le point de cette derniere surface qui cor- 

 respond au point x, y, z de la premiere, on aura : 



X, , = x + ;oX, y. , = y -fp Y, z, , = z + p Z, 

 X dx, , -f- Y dy, , -j- Z dz, , = o ; d'ou 



dx. , = dx + X (U -j- f. dX, 

 dy, , = dy -ip Y d,. -f p dY, 

 dz, , = dz -f- Z dp -[- p dZ, 



les differentielles indiquees soni toutes des difte- 



