64 SOMMATION 



U faut remai'quei' que si Tune des integrations amene 

 dans le second mcnibre les sinus des multiples successifs 

 de la variable x, il n'y a pas de constante a ajouter, car les 

 deux membres de I'cgalile qu'on obtient s'cvanouissent i)our 

 xz= 0. II suit de la que les constantes ne s'introduisent 

 qu'apres chaque nombre impair d'integrations effectuees; 

 par consequent le dernier terme de S est C^, a; ou C^ + i selon 

 que }) est pair ou impair. 



Pour substituer une integrale simple a i'intcgrale multii)le 

 qui entre dans (S), il suffit d'appliquer la formule suivante 

 oil nous supposons qlie cp [x] reste constamment finie: 



f^ y (X) (dxy = — -i — - p y (.) (x-zy-i dz. 



Jo 1.2..(h— 1) ./o 



C'est une extension aux intcgrales definies d'un resultal 

 generalement connu. On en deduit pour le cas actuel 



f (dx)v (— —') =:— P (n - z) {X - z)p-^ dz 



2 (4.2..P 1.2..(p4-d)r 

 et par suite, 



\ t: XP XP+i ) , CiXP-^ , CiXP-'^ 



(1.2. .p 1.2..(p+l)f ~1.2..(p — 1) r j.2..(p — 3)^ 

 J'ignore si cette formule est nouvelle. 



La determination des constantes qu'elle renf'erme s'opere 

 facilement. Supposons en effet que p soit impair dans (S), 

 auquel cas le dernier terme du second membre est C,, ^ i , 

 multiplions les deux membres par dx et integrons entre 

 les limites o et ir. L'integrale du premier membre s'annule, 

 puisqu'elle ne renferme que des cosinus, et il viont In re- 

 lation ijencrale 



I) -I- 1 77J' + 2 , Ce nP , C 



4 77 



P' 



2 1.2..(p-|-2) ' \.2..]> ' 1.2..(p— 2) 



■I" ro 77r~~o\ ~\~ ■••-\-^'p 



+ I 7^, 



