d'uNE CERTAINE CLASSE DE SERIES. 67 



et par suite 

 A 



(7) / log (1 — 2 h cos X -f- 't' ) dx = 2 TT log h. 



Jo 



Dans la meme hypothese, on aura 



A /i— ' 



(9) /' log (1 — 2 h cos X 4- h- ) cos ux = — n 



Jo " 



Les relations (7), (7'), (9), (9') ontete donnees par M. Poisson, 

 17'"^ cahier de I'Ecole Polytechnique. 



Les relations (8) et (10) me paraissent nouvelles. 



En posant h = ■■ et a; = 2 9 dans I'equation (4') elle 



prend la forme 



(rn — 1) tansf <p m — 1 . ^ , /m — IV . 



arctang \— — ^ ^-^ = r— - sin 2 «> + ( r— - I sin 4 y 4- etc. 



^ 1 -|-j;i2 tang f m -\- i ^ ' \m -j- 1/ ^ ' 



C'est le developpement obtenu par Lagrange {Mem. de 

 I'Acad. de Berdin, 4ll6), pour la resolution de Tequation 



tang u zzivn tang y. 



On a en effet 



{m — 1 ) 9 



tang (u — ») = 



\ -\- m"^ tang <f ' 

 et par suite 



. w* — ^ . ^ . /wi — IV . , 



" = ? H m S'n 2 y + ( f— - I sm 4 'f- + clc. ; 



m -j- 1 \?n -j- i/ 



ce qui est bien la formule eonnue. 



Dans le volume 2 de ses Exercices de calcul integral, 

 Legendrc a donne la formule 



r dx 



/ i 1 .^ log (1 — 2 /i cosrx-f 7r-)=:7r log(l — /te-O; 

 Jo 1 -j- * 



elle se deduit facilement de la relation (5'), et de la valeur 

 de rintegraie de Laplace 



