d'une certaine classe de series. 69 



Les formules (D) et (E), appliquees au developpement 

 de arctang x, donnent les deux series 



h cos .r —• cos o :r -)- etc. = p , 



/i sin a; ^ sin 3 a; -j- etc. = 5, 



o 



p et ^ etant determinees par I'equation 



p ■\- qi ■=:. arctg fee'^. 



Ces valeurs de p et de q s'obtiennent facilement. Posons 

 en effet 



arctg fee'* rr m, arctg e— '*= v; 



d'ou 



. . , , , 2 /t cos a; , 2 /i cos a; 



tang {ii-\-v)= ^ __ ^^ .«+?; = arctg ~T--_zri 2 ' 



puis 



, , 2 /i i sin a; 2 /i i sin x 



tang(u-.)=^-j-^. „_„:=, arctg -p-p^. 



Or, on a generalement, comme on le voit du reste par 

 la differenciation , 



arctg 2 J z=z -L log (|^): 

 done 



1 , i -I- }f.-\- 2 h sin X 

 u — t; = log- — ! . 



2 s 1 -|- 7j2 _ 2 /t sin X 



et par consequent 



/. .N 1 2/1 COS* hco&x h^ 



(1*) P= -^r ''^^^^S -, T^r = — -. ^ COS o X + etc., 



^ 1 — ft- 1 o 



/.vN „ 1 , 1 -I- /i- -4- 2 /t sin a; /isino; h^ . 



(15) 7 = -T- log , !.o ... . = — , =- sin 3 X -f etc. , 



't 1 -j- ft- — 2 ft sin a; 1 o 



