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les puissances successives de 2 , d'apres la loi enonc.ee , les cliif- 

 fres du'nouveau nombre P sero it a , 2 b , 22c , ... 2 n "*g , 2 n ~' k , 

 2 n l; etlon auraP = io" a -|- io"" 1 2 b-f- io"' 2 2 2 c. -j— •■• + 

 io 2 2«i-2 g _[_ 10. 2'i-J k -j- 2 n I. 



Tirons de l'equateur (1) la valeur dea pour la substituer dansP , 

 jl viendra 



Y = 10" 7 Q.— 10n +1 b — 10n4 2 c — ...— 102 n - 2 g— 102»-1 k— 10 2n I 

 — 10 n ~l 2 b— 10"- 2 2c— ...— 1022" 2 g— I0 2n-lk— 2 n 1 

 =10 n 7a— 10n-l(102-2)b— 10u-2;i0 t-22 ; c— ...— 10 2 (10 2 n-«— 2»-2)g— 

 10(102 n -2_2 a 'l)k— (102"— 2 i)l 



Or, on a evidemment io 2 - - 2 = 98 = 2. 7 2 nombre divi- 

 sible par 7. Tous les autres f icteurs enlre parentheses etant 

 des differences de puissances semblables de 10 et de 2 sont 

 ausfi divisibles par io 2 -2 et consequemment par 7. Done le 

 nombre P est lui-meme divisible par 7. 



1" Corolla ire. = io 2u — 2 n etant toujours un multiple non 

 seulement de 7 , ma is de 98 , on voit que si le nombre !N est 

 divisible par un quelconque des diviseurs de 98 , cest-a-dire 

 2 , 7 , i4, 49 et 9°" le nombre P le sera aussi. 



2 e Corollaire. = Pour trouver le nombre 2 par les puis- 

 sances duquel on doit multiplier lescbiffres du nombre N ren- 

 verse pour former le nombre P divisible encore par 7 , il suf fit 

 d'apres Inequation (3) deretrancber de io 2 ou 100 leplus grand 

 multiple possible de 7. Ici e'est 7 X *4 = 9§ et ^ reste 2 1 U * 

 est le multiplicateur cbercbe. Mais il est evident que Ton aurait 

 encore un facte ur propre a remplir les memes conditions en 

 retrancbant successivement de io 2 les multiples de 7 inferieurs 

 a 7 X ! 4> cequi donnerait les restes 9, 16, 23 .... e'est-a-dire 

 que le theoreme enonce plus baut subsiste en preuant pour 

 multiplicateur un quelconque des termes de la progression 

 2,9, 16 .... dont le premier terme est 2 et la raison 7 . 



a'Tbeor. — Extension du theoreme \" a tous les diviseurs 



possibles. 



Dans les equations (l), {1) et (3) qui precedent, laissons inde- 



