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» Voici comment on peut établir le fait que i2.I := o. 



» En commençant avec les trois premiers invariants différentiels, c'est- 

 à-dire a, a°(5 — 3fl6c+ 26', et le A de M. Halphen (dans sa thèse immor- 

 telle), on sait que les deux premiers, et l'on vérifie sans trop de peine que 

 le troisième sont tous les trois des sous-invariants. 



» De plus, on sait que, en commençant avec ces trois invariants que nous 

 nommerons T„, I,, fj, on peut former une suite indéfinie de formes proto- 

 morphiques 



J-O' '1» -^2' .t » •••* 1/ï» •••! 



dont tous les autres seront des fonctions rationnelles. 



)) Pour obtenir cette suite, on n'a qu'à former une fonction J de fp, 

 I,, . . ., I^, . . ., dont le degré et le poids soient tous deux zéro; en opérant 

 alors sur J (considéré comme fonction des dérivées de y par rapport à x) 

 avec Sj, on obtient \p^^. 



» Si donc on peut démontrer que Î2 (5,.J =; ()j.£2 J, il s'ensuivra que T„^, 

 sera un sous-invariant, pourvu que I^ en soit un, et le théorème en ques- 

 tion sera démontré. 



)i Or remarquons en premier lieu que, à cause de la valeur zéro du degré 

 et du poids de J, la quantité 



sera nulle si \, a, v, . . . forment une progression arithmétique (pielconque: 

 et, en second lieu, que (par rapport à une fonction de dérivées de J par 

 rapport à x'), î5,. = 3 & (5„ + 4^ «5^ + 5 f/ (5,. + . . . identiquement. 

 » Conséquemment 



(9.1, - ^,9.) J = l(3a \ -^ 86 S, + 1 5c ?5, + . . .) - (?>b l,, + Se ■\. + ...)] J 

 = (3<T(5„ + 5/>!^/, + 7C(5,,-f- . . .) J = o, 



ce qu'il fallait démontrer. 



» M. Halphen, à qui j'avais communiqué ce résultat, en a trouvé une 

 tout autre démonstration qu'il m'autorise à communiquer à l'Académie. 

 Elle possède sur la mienne l'avantage d'aller plus au fond de la question, 

 en faisant voir que l'équation £2.1 = o équivaut à dire que, en se servant 

 àe.x, y, z au lieu de x,y, i, un invariant différentiel peut subir le chan- 

 gement entre eux de x et z. Or, puisque V.I --= o signifie qu'on peut im- 

 poser des substitutions linéaires quelconques sur x et y, il s'ensuit, en 

 combinant les deux équations, que la même chose aura lieu quand 3c,y, z 



