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subissent tous les trois des substitutions linéaires quelconques. Voici la 

 démonstration très élégante de M. Halphen : 



» Si l'on l'ail le chanç;emeiU de variables 



■r as 



et qu'on érrive 



7n=y^ 



d\y 



d"r 



clx 



7,^) 



(n) 



Y = -{- x-\y 

 dY 

 dX 

 (PY 

 dX'- 

 d^Y 



---(v'-i.), 



-=H-.r'.r", 



rfX3=--a>'"^J-")' 



3 



8 

 d\' \ .r ■ 



d'Y 

 d\- 

 d^Y 



dX' 



^ — .r^ ,-v H ylv + ,, 



6o ,„ 6o 



rf«Y 

 dX 



_ — (_ ,)K.^-2"-l y(«)_J_ "^'^ i) ,-(n-l)-|_ ^ yl'l- 



» Posant 



1 ,,(«-•». 



on a 



d" Y , . d" Y 1 I 



» Soit une fonction /(A,,, A,, . . . , A„) dont tous les termes soient de poids et de de- 

 gré constants/», 3; en supposant z infiniment petit, on aura 



/(A„, A„ ...,A„) 



= (_,)/..j.-^/'-5J /(«-„,„ f7„)+S 



àa, dOi Oa., ila„ 



« Donc, pour que / soit invaiianl pour la substitution considérée, il faut qu'on ait 



da^ da,, de/- àa„ drr^ 



» En particulier, si / ne contient pas «,, ce qui est le cas des i écipracantf; purs, 

 on aura 



df dj , , df 



da-i dai da„ 



C. R., i886, 1" Semestre. (T. CXI, N« l.) 



C. Q. F. D. 

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