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» Ainsi, l'on voit qu'un invariant différentiel est en même temps récipro- 

 cant et sous-invariant; ce n'est nullement un mélange ou une combinaison 

 de deux choses différentes, mais plutôt, pour ainsi dire, une personnalité 

 seule et indivisible douée de deux natures tout à fait distinctes. 



)) Afui de compléter la théorie, il f;iut démontrer la réciproque, c'e,,^t- 

 à-dire que toute forme douée de ces deux natures est un réciprocant pro- 

 jectif. M. Halphen effectue cela en trouvant le développement complet de 

 sa série et en faisant voir qne, quand le coefficient de la première puissance 

 de £ disparait, la même chose aura lieu pour tous les coefficients suivants. 

 Voici notre méthode, à nous de l'effectuer. 



» Soit H une forme rationnelle et entière dont le terme principal (c'est- 

 à-dire celui qui contient la plus hante puissance du terme le plus avancé) 

 est Gh'. On suppose que le théorème à démontrer est vrai jusqu'à la 

 lettre g incluse, et que VA = o, £^IÏ = o sans que H soit projectif. 



» Alors évidemment VG = o, i2G = o et G, par hvpothèse, sera pro- 

 jectif. Soit H' une puissance d'un protomorphe pour laquelle le terme prin- 

 cipal est G' h', alors, si H, = GH — GH', G, G', H' sont projectifs, mais H 

 non projectif; donc. H, (qui, comme H, est anéanti par V et par ii) sera 

 non projectif : de plus, dans H, le degré du terme principal en h est 

 abaissé. De la même manière on peut construire Hg, H.,, . . . jusqu'à ce 

 qu'on parvienne à une forme (') qui ne contient pas /t, laquelle possédera 

 les mômes caractères cjue H, ce qui est impossible par hypothèse. Donc, 

 si le théorème à démontrer est vrai pour un nombre quelconque donné 

 de lettres, il sera vrai universellement : mais il est évidemment vrai pour 

 la fonction a c|ui est le seul réciprocant à une lettre. Donc, si VI ^ o et 

 RI = o, I est un réciprocant projectif, c'est-;'i-dire un invariant différentiel. 

 Ce qui était à démontrer. » 



(') Cette forme sera, en elFet, le résultant de H et de la première puissance du pro- 

 tomorphe. Nous avons jugé inutile de dire dans le texte que G', comme G, sera 

 anéanti par V et par iî et conséqueminent, par hypothèse, sera lui aussi projectif. 



