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chans;er la fonction à réduire en un produit de fonctions 0, dun moindre 

 nombre de variables. L'entier k est alors le nombre caractéristique de la 

 réduction. 



» Ce théorème fournit une classification très simple des cas de réduc- 

 tion, qui peut être utile pour divers objets, mais qui offre l'inconvénient 

 graAe de ne pas distinguer des autres les cas où la réduction des fonctions 

 abéliennes est accompagnée de la réduction du genre d'une courbe algé- 

 brique. 



» On sait, en effet, que tous les systèmes de fonctions abéliennes ne 

 sont pas engendrés par une courbe algébrique; et, quand on appliquera 

 la réduction à des fonctions engendrées de cette façon, il n'arrivera pas 

 toujours que les fonctions réduites soient susceptibles du même mode de 

 génération. Nous avons démontré, au contraire, M. Picard et moi, qu'un 

 système quelconque de fonctions abéliennes peut être déduit par réduction 

 d'un système analogue, engendré par une courbe algébrique. 



» On peut éviter cet inconvénient, en prenant pour point de départ 

 d'une classification des cas de réduction la théorie de la transformation 

 des fonctions fuchsiennes. On peut se proposer, étant donné un groupe 

 fuchsien, de trouver les sous-groupes fuchsiens qui v sont contenus, et 

 cette étude présente avec la transformation des fonctions elliptiques une 

 analogie sur laquelle il est inutile d'insister. 



■» Avant d'aller plus loin, revenons aux équations (i) et (2) et observons 

 que œ' et y' seront, en général, des fonctions non uniformes de x et dej^; 

 mais que ces fonctions peuvent cependant être inramifiées (unverzweigt), 

 c'est-à-dire que, quand x et y décrivent des contours fermés infiniment pe- 

 tits, x et y' reviennent à la même valeur. 



» Comme premier résultat, on peut montrer que, si x' et y' sont des 

 fonctions inramifiées, et si /7^ i , on devra avoir aussi q ^ \, de telle sorte 

 que la réduction au genre i par des fonctions inramifiées est impossible. 

 Si /?=:</ = I , le problème de la réduction se ramène simplement à celui 

 de la transformation des fonctions elliptiques. 



» Je me bornerai, pour le moment, à citer quelques exemples. Je numé- 

 roterai les côtés du polygone générateur de mon groupe fuchsien, en sui- 

 vant son périmètre dans le sens positif, et j'exprimerai la loi de conjugaison 

 des côtés par la notation suivante : (a. b; c, d; . . .), ce quÏAOudra dire que 

 le côté numéroté a est conjugué du côté b, le côté c du côté d, etc. L'angle 

 des deux côtés a el b sera désigné par la notation a.b: substitution qui 

 change le côté a dans le côté conjugué b, par la notation S (a, b); le poly- 



