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qu'on change le sens de l'intégration. Considérons trois fonctions entières 

 quelconques de 3c,y, z et ^ et envisageons-les comme les coordonnées d'un 

 point M dans l'espace. Faisons varier ensuite u eti> : si, quelles que soient 

 les fonctions entières considérées, le point M décrit une surface fermée, je 

 dirai que le contour d'intégration est fermé. 



» Les conditions d'intégrabilité, c'est-à-dire les conditions pour que l'in- 

 tégrale soit nulle, toutes les fois que le contour d'intégration est fermé, sont 

 au nombre de quatre. L'une d'elles est 



rf[X,Y] ^ d[Y,Z] ^ r/[Z.X] ^^ 

 dz dx dy ' 



et les autres s'en déduisent par permutation de lettres. 

 » Nous poserons alors 







ffm. -0) .n A =//[(P + .-Q) ^ + (,-p - Q) |£^ 



Il est aisé de voir que les conditions d'intégrabilité sont remplies. 



)) J'envisagerai le cas où la fonction F (H, n) est rationnelle et je l'écrirai 

 sous la forme 



en décomposant le dénominateur en ses facteurs. 



» Il ne faut pas que la fonction F devienne infinie en un point du con- 

 tour d'intégration. En exprimant que i|; ou s'annule en un point de ce 

 contour, on obtient quatre équations algébriques à quatre inconnues. On 

 doit s'arranger pour que ces quatre équations n'aient aucune solution 

 réelle. 



)) Je ne puis exposer ici le mode de représentation, grâce auquel on peut 

 s'affranchir de l'hvpergéométrie et reconnaître, à l'aide de la Géométrie 

 ordinaire, si l'intégrale, prise le long d'un contour fermé, est réellement 

 nulle. Je me bornerai à indiquer quelles sont les différentes périodes de 

 l'intégrale double, c'est-à-dire les valeurs qu'on obtient en prenant l'inté- 

 grale le long d'un contour fermé. Ces périodes sont de trois sortes : 



» i" Les périodes de la première sorte sont égales à 2TCiH, H étant une 



