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nuité dans le voisinage de ces points. Les travaux de M. Fuchs sur les 

 équations linéaires ont rendu ces résultats immédiats et ont permis de les 

 généraliser de diverses façons. [ Voir le Mémoire de M. Pochammer (Journal 

 de Crelle, t. LXXI) et le Mémoire sur les fonctions hypergéométriques 

 d'ordre supérieur que j'ai publié dans le t. XII des Annales de l'École Nor- 

 male.] Mais ces diverses généralisations sont loin d'avoir épuisé le problème 

 et ne correspondent au contraire qu'à des solutions très particulières, 

 qu'il était plus facile d'apercevoir à cause d'une certaine symétrie dans les 

 propriétés des intégrales. 



» D'une manière générale, une équation linéaire, ayant tontes ses inté- 

 grales régulières pour toute valeur de la variable et possédant p points 



smguliers, y compris le pomt a; = qo , dépend de {p — i)m — h m 



coefficients arbitraires, en regardant les points singuliers comme connus. 

 Si l'on se donne les racines des p équations fondamentales déterminantes 

 relatives aux points critiques, on introduit />wi — i équations de condition 

 entre ces coefficients. Ce nombre est inférieur au précédent, dès que m est 

 supérieur à 2 ou /? supérieur à 3 ; de sorte que les intégrales de l'équation 

 la plus générale de cette espèce ne sont pas susceptibles d'une définition 

 analogue à celle de Riemann pour les fonctions de Gauss. Mais c'est encore 

 dans la théorie des intégrales régulières de M. Fuchs que l'on trouve le 

 moyen le plus simple d'étendre cette définition. 



)) Supposons que l'équation déterminante fondamentale relative à un 

 point singulier a admette un groupe de >^ racines 



r, r + /?,, /• + /i., ..., /'-l- ").-,, 



où /?,, iu, . . ., «>_, sont des nombres entiers tous positifs et différents, et 

 que pour toute autre racine / la différence r' — r ne soit jamais un nombre 

 entier. Pour que l'équation différentielle admette dans le domaine du 

 point X =^ a\ intégrales linéairement indépendantes 



{x-ayV{x-a), (x-ay^"A\{x-a), ..., 



où P(a: — a), P, {x — a), ... sont holomorphes dans ce domaine, il faudra 



que les coefficients de l'équation proposée vérifient ^ équations de 



condition qui, jointes aux 1 relations qui expriment que r, /•-+- n,, . . . sont 

 racines de l'équation déterminante, donnent en tout ^ équations de 



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