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condition. Imaginons que l'on ait effectué ce partage en groupes déracines 

 pour tous les points singuliers et que tous les logarithmes disparaissent de 

 l'intégrale générale dans le domaine de chacun d'eux, on introduira 



amsi 



_ ^ 2 



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relations entre les coefficients, en désignant par >>, le nombre des groupes 

 de racines de l'équation déterminante relative au point singulier, a,, et 

 par 7n\ le nombre des racines du k'^'"^ groupe. Pour que le problème soit 

 déterminé, il faudra donc que l'on ait 



; = /) i = A, 



1 = 1 A- = 1 

 et l'on aura, en outre, les/> relations évidentes 



(o) \m'/^ = m (j=: I, 2, ...,/î). 



» Connaissant un système de solutions de ces équations en nombres en- 

 tiers et positifs, la détermination de l'équation linéaire correspondante 

 exige des calculs algébriques qui pourraient être assez compliqués. J'ai été 

 conduit, pour faciliter le calcul, à faire une hypothèse de plus; je suppose 

 que les racines de chacun des groupes dont il vient d'être question forment 

 une progression arithmétique ayant pour raison l'unité. J'ai démontré, du 

 reste, que tous les autres cas pourraient se ramener à celui-là. Grâce à 

 cette nouvelle hypothèse, les coefficients de l'équation seront toujours dé- 

 terminés par un système d'équations du premier degré bien faciles à obte- 

 nir. Il existe deux types d'équations de cette espèce du troisième ordre, 

 qui, du reste, sont bien connus. Il y en a six pour les équations du qua- 

 trième ordre, dont trois sont déjà connus complètement; un cas particulier 

 d'un des autres a été rencontré par M. Brioschi dans ses recherches sur la 

 transformation du r'''™'' ordre des fonctions elliptiques ( Annali di Mate- 

 matica, série II, t. XII, p. 65; Mathematische Annalen, t. XXVI, p. io8). 



» Toutes ces équations jouissent d'une propriété importante. On peut 

 en général, par des calculs purement algébriques, déterminer les substi- 

 tutions que subit un système fondamental d'intégrales convenablement 



