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et, en conséquence, on a ce premier théorème : Les dérivées partielles se- 

 condes de trois fonctions hyperelliptiques y, s, ^v peuvent s'exprimer par des 

 polynômes du troisième degré des mêmes fonctions . 

 » On a, en second lieu, 



(«0=1»^)= ?[(V - ■il)zw - ky\, 

 (^o«'.7.) = ?[(Z ~2m)wy-kz\, 

 (coj, ^,) = p[(W— 2«)rs —kwy, 



de ces relations et des précédentes on peut déduire les expressions de 



z, w,, ZfW.,-{- z.;,w^ du quatrième degré enj, z, w. 



» Enfin on trouve que 



(V;) = P[W4- (Z - ^m)f\, {c,y\) = ?[Z -f (W - in)y^], 



(c„z;) = p[Y + (W-2«)==J. (a„z;) = p[W + (Y- 2 /)=='], 

 («o<0 = p[Z + (Y-2/)(.'=J, (è„(v;)=p[Y + (Z - imyv% 



et l'on a ce second théorème : Les carrés et les produits deux à deux des déri- 

 vées partielles premières de trois fonctions hyperelliptiques j, :;, w s' expriment 

 par des polynômes du quatrième degré des mêmes fonctions. 



M Ainsi les dérivées partielles d'ordre in sont exprimables par des poly- 

 nômes de degré an + i . 



» Ces formules, par leur simplicité, peuvent conduire à des conséquences 

 nouvelles, soit dans la théorie des fonctions hyperelliptiques, soit dans celle 

 des équations différentielles. Je me borne, pour le moment, à signaler la 

 suivante. Les formules précédentes donnent 



«^(^or.-,)-2(6or.H^',)= pf^(-' +y-w-) + imyzw\, 

 «^(coj.z.) -s(coj,tv,)= - ^\k{w'' + y- z- ) + 2n yzw\. 



)) Si dans ces équations on pose z = Vi'l, on obtient 



("oj.'i) = o, 



(^oJ,^) = -pf/-(j'+ <") +2myt], 



(fo J, t,) = - ?[k(i + yU') + 2nyt], 



où les j, t, , y, <2 + Vi^ , j2'2 sont exprimées par des polynômes en y, t. 



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