( 25 1 ) 



plus simple à exposer pour une équation de la forme 



où y est un polynôme de degré m, et c'est à de telles surfaces que nous 

 allons nous borner ici. Nous montrons tout d'abord que toute intégrale de 

 différentielle totale de seconde espèce 



/ 



Vdx-^q dv, 



où P et Q sont des fonctions rationnelles de x, y, z, est égale à une fonction 

 rationnelle, plus une intégrale de la forme 



/ 



Ada; + B dy 



Csjf{x,y)' 



OÙ A et B sont des polynômes en x et y et C un polynôme ne dépendant 

 que àey. 



» Nous établissons ensuite qu'en retranchant de cette intégrale une 

 fonction rationnelle convenable, on la ramène à la forme 



Pd^ + Qdv 



où 



p =: a^x'"-^ + a, X'"-'' + ... + «„ 



/ 



Q = b„x"'-' + b, x'-'-'-h . . . + i, 



m-i » 



les a ei b étant des fonctions rationnelles dey. Prenons maintenant iacon- 



dition d'intégrabilité 



P 



fy-<ià--/(-:->[7;--lS- 



les deux membres de cette identité sont des polynômes de degré 2 m — 2 

 en x; nous aurons donc 2m — i relations dans lesquelles figureront les 

 2m — i fonctions de y 



a„, a,, . . ., a„,_.,; è„, b,, . .., b,„_,. 



» Pour simplifier encore, nous supposerons m impair et égal à 2p -i- 1. 

 Dans ce cas les m premières des identités précédentes nous permettent 

 d'exprimer de proche en proche bg, b,, . . ., b,„_, à l'aide des a et de leur 

 dérivée première. Portant ces valeurs dans les (ttî — i) autres identités, 



