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que nous avons encore à écrire, nous obtenons un système de (m — i) 

 équations linéaires et homogènes du premier ordre. On pourra en tirer a,, 

 a.,, . . ., a,„„2 exprimées au moyen de a^ et de ses dérivées, et, quant à Oq, il 

 satisfera à une équation linéaire E d'ordre m — i, dont les coefficients 

 seront des polynômes en y. Nous aurons donc à rechercher si cette équa- 

 tion pourra être vérifiée par une fonction rationnelle de y, question que 

 l'on traitera facilement. 



M Supposons que l'on ait trouvé r fonctions rationnelles, linéairement 

 indépendantes, satisfaisant à l'équation précédente E; on en déduit des 

 valeurs correspondantes pour les a et les b, et l'on a alors r intégrales de 

 seconde espèce. Aucune de ces intégrales ne se réduit à une fonction ra- 

 tionnelle de X, y, z, et il en est de même pour toute combinaison linéaire 

 de ces intégrales; le nombre /-représente le nombre des intégrales distinctes 

 de seconde espèce. 



» On peut rencontrer, en suivant une autre voie, l'équation linéaire E 

 d'ordre 2p, dont nous venons de parler. Considérons à cet effet l'intégrale 

 relative à la seule valeur x 



f 



(flo^"'~"-+- ••• -ha,„_^)da 



\'f{^;y) 



y est un paramètre, et l'on veut déterminer a^, a^, . . ., «,„ o en fonction de 

 ce paramètre, de telle sorte que les 2/? périodes de l'intégrale précédente 

 ne dépendent pas de y. En écrivant que ces périodes sont égales à des 

 constantes a,, c/..,, . . ., oc^^„ on aura ip équations; d'où l'on tirera 



rt„ = a,U,, + a,U,,+ ... +a,/,U,,„p, 



«m-ï — *) Uo^_ , + . . . + «2/)U2/,, ip. 



les U étant des fonctions de j, que l'on peut représenter par des intégrales 

 définies. Arrêtons-nous particulièrement sur «„ : cette expression repré- 

 sente, avec ses 2p constantes arbitraires «, l'intégrale générale de l'équa- 

 tion E. Ces considérations m'ont permis d'aborder l'importante question 

 de la relation entre le nombre des périodes et le nombre r des intégrales 

 distinctes : j'y reviendrai prochainement. 



» Je demande la permission de terminer par quelques remarques sur 

 un sujet un peu différent; elles me sont inspirées par la Note remarquable 



