( 2.54 ) 



nouvelle application de Géométrie cinématique mexoncluit au théorème de 

 M. Greenhill, à une démonstration du théorème d'Ivory [démonstration 

 qu'on n'avait pas encore, malgré le désir formulé par Chasles (' ' )]; elle me 

 permet de retrouver simplement des propositions relatives à la polhodie et 

 à riierpolhodie, ainsi qu'aux surfaces homofocales du second ordre, et d'en 

 découvrir de nouvelles. 



» Soient ox, oy, o: les axes d'un prisme droit rectangulaire, et sur les 

 faces de ce prisme, parallèles à oz, les diagonales P, Q, R, S qui forment 

 un quadrilatère gauche. 



)) Les côtés opposés P, R rencontrent à angle droit oy et sont à des dis- 

 tances égales de o ; de même pour S et Q. On peut, en conservant à P, O, R, S 

 leurs longueurs , déformer ce quadrilatère de façon qu'il en soit toujours ainsi. 



n Considérons rh\perboloïde à une nappe (II ) qui a pour sommets les 

 milieux des côtés du quadrilatère et dont l'axe non transverse est égal à la 

 hauteur du prisme; le quadrilatère gauche est sur (H) et détermine cette 

 surface. 



» Construisons ce quadrilatère au moyen de tiges et déformons-le, ainsi 

 que je viens de le dire. A chacune de ses positions correspond un h^perbo- 

 loïde : tous ces hyperholoïdes sont homofocaux, comme nous allons le voir. 



» La projection de P sur le plan des xz, plan principal de (H), est une 

 asymptote de l'hvperbole, section principale de (H) par ce plan des xz, et 

 la longueur de P est la distance focale relative à cette hyperbole. Il en est 

 de même pour Q relativement à l'autre hyperbole principale. Mais P et Q 

 sont de grandeurs in^ ariables, par suite, pendant la déformation de (H), 

 on a sur chacun des plans principaux des xz et des yz des hyperboles ho- 

 mofocales ; donc 



» Soient G une génératrice de (H), p, r les points oi!i elle rencontre P, R. 

 Déformons le quadrilatère et soit (H,) le nouvel hyperboloïde correspon- 

 dant. La droite G est venue en G, qui joint les points />,, /•, où sont venus 

 les points /j, r. Soient/?', r' , /j, , r, les projections de ces points sur le plan 

 des ar:;. Les droites o/j,, or^ sont les asymptotes de l'hyperbole principale 



(') A la page i65 de son Aperçu historique, Cliasles s"e\prinio ainsi : « Les différentes 

 démonstrations que l'on a données de ce théorème (d"Ivor\ ) s'écartent peu de celles 

 mêmes de son célèbre aiUeiir et l'on v fait usage de quelques transformations de for- 

 mules analytiques. Il est peut-être à désirer pour faire entrer ce théorème dans la 

 ihéorie géomélri(|ue de lalti'aclion des ellipsoïdes, à lac|uelle il appartient pai' sa na- 

 ture, d'en avoir une démonstration plus synthétique que les premières, c'est-à-dire tout 

 à fail indépendante des foimules de l'Analyse. » 



