ÎJJ ) 



de (H,). Ou a évidemment op\ X oi\ — op' X or ; produit qui est égal au 

 carré de la demi-distance focale des hyperboles homofocales, sections prin- 

 cipales de (H) et (H,) sur le plan des ,r=. 



)> D'après cela, la projection de G, sur ce plan est une tangente à l'h\- 

 perbole principale trace de (H,); par suite, G, qui rencontre, comme nous 

 le savons, les nouvelles positions de P et de R, est une génératrice de (H,). 

 Donc : les génératrices de l'hyperboloïde {\{) restent les génératrices des hy- 

 perboloïdes qui résultent de la déformation de cette sur/ace. 



» Pendant la déformation, le milieu de P décrit oy qui est perpendicu- 

 laire à cette droite; P est alors normal aux trajectoires de ses points. De 

 même pour Q. Le point de /'encontre de P et de Q décrit alors une trajectoire 

 normale à ces droites, c'est-à-dire au plan (P, Q) qui est tangent à { II). 



» De même pour le point de rencontre de P et de S. Il y a alors trois 

 points de P qui sortent de leurs positions normalement à (H); cette droite, 

 pour un déplacement infiniment petit, se dé|)lacc sur le paraboloïde des 

 normales à (H) relatif à P; par suite, la trajectoire d'un point quelconque de 

 V est normale à (H). Les trajectoires des points /^, /• sont alors normales 

 au segmenter de G; donc le segment pr reste de grandeur constante pendant 

 la déformation de (II). 



y Les points/?, r se déplacent normalement à (H) et le milieu tle pr 

 aussi, comme il est facile de le voir; il en est alors de même d'un point 

 quelconque de cette droite. Ainsi un point quelconque de (K) décrit une 

 trajectoire qui est constamment normale à cet /typerboloidc penda/U sa défor- 

 mation. 



» Il ne reste plus qu'à grouper les résultats précédents, intéressants en 

 eux-mêmes, pour retrouver le théorème de M. Greenhill : V hyperboloïde 

 articulé ( H ) peut se déformer en conservant son centre et ses axes en direc- 

 tions, lise transforme successivement en hyperboloïdes qid lui sont homofocaux 

 et ses points décrivent des trajectoires orthogonales à tous ces hyperboloïdes. 



» La trajectoire (m) du point quelconque m de la génératrice arbitraire 

 G étant une trajectoire orthogonale d'hvperboloïdes homofocaux est l'in- 

 tersection de l'ellipsoïde et de l'hvperboloïde homofocaux à (H) qui pas- 

 sent par m. 



» La courbe (m) est une ligne de courbure sur chacune de ces dernières 

 surfaces. On peut remarquer que la trajectoire d'un point de (H) situé sur 

 un plan principal de cette surface est une conique homofocale aux co- 

 niques traces de (H) sur ce plan principal. 



» Les points a, p, y de G, où cette droite rencontre les plans principaux, 



