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de cette droite est venu en zn,. Ce point m, est appelé le correspondant 

 de m. Menons la corde mm, de la trajectoire (m) et, de même, menons les 

 cordes relatives aux trajectoires des points de G. Toutes ces cordes appar- 

 tiennent à un paraboloide hyberbolique qui contient G et G,. Les milieux 

 de ces cordes sont alors sur une génératrice de ce paraboloïde, c'est-à-dire 

 en ligne droite. La projection de cette droite sur l'un ou l'autre des plans 

 principaux de (H) est, en vertu d'un théorème connu, perpendiculaire à 

 la corde de l'arc de la conique décrite, pendant la déformation de (H), par 

 le point de (G) qui reste sur ce plan principal. De là, ce théorème impor- 

 tant : La droite, qui contient les milieux des cordes des arcs décrits par les 

 points d'une génératrice de (H), pendant la déformation de cette surface, est 

 perpendiculaire à toutes ces cordes ( ' ). 



» Appelons n un autre point de G, et «, son correspondant. Projetons 

 les cordes m/w,, ««, sur un plan perpendiculaire à la droite qui joint le 

 milieu ^j. de mm, au milieu s^ de n«,. Soient m' m.\, n' n\ les projections de 

 ces cordes ; ces deux droites se coupent mutuellement en parties égales et 

 la figure m'n'm\ n\ est un parallélogramme. On voit alors tout de suite 

 que : G et G , font des angles égaux avec la droite y.i> des milieux des cordes; 

 les droites mn,, m, n sont égales et font des angles égaux avec la droite [j.v des 

 milieux des cordes ; les droites G , G , font des angles égaux avec les droites, telles 

 quemm^, qui joignent deux points correspondants : i\ en est de même de m, «, 

 mn^ ; la droite, qui joint les milieux de m, n et mn,, est coupée en son milieu 

 à angle droit par [j-v ; cette droite et les droites G e^ G, sont parallèles à un 

 même plan. 



» Projetons les hyperboloïdes homofocaux (H), (H,) sur un plan per- 

 pendiculaire à mm,. On obtient ainsi des coniques homofocales, comme 

 lignes de contour apparent de (H) et (H,) siir ce plan,. 



» Les projections des génératrices G, L de (H), qui passent par m, sont 

 tangentes à l'une de ces coniques. De même les projections de G, et L, 

 sont tangentes à l'autre conique. Ces quatre tangentes passent par un 

 même point et, comme elles sont tangentes à deux coniques homofocales, 

 la bissectrice de l'angle compris entre les projections de G etde L est aussi 



(') Il résulte de ce que j'ai démontré à la fin de ma dernière Communication qu'on 

 peut énoncer celte propriété sans parler d'hyperboloïde. Cette observation peut s'ap- 

 pliquer toutes les fois qu'il s'agit de propriétés relatives au déplacement de la généra- 

 trice G. 



