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la bissectrice de l'angle compris entre les projections de G, et de L, . De là 

 cette propriété : 



» L'angle dont tourne autour de mm y le plan (mm ^, G) your venir coïn- 

 cider avec le plan (mm^. G,) est égala l'angle dont tourne le plan (mm^jh) 

 pour coïncider avec le plan (mm,,L,). 



■» Soient /un point arbitraire de L et /, son correspondant. Les droites 

 ml,mm.^,mn^ sont les arêtes d'un trièdrc qui, en vertu des propriétés pré- 

 cédentes, est égal au trièdre dont les arêtes sont m, /j , /n, m, m^n; car les 

 dièdres qui ont pour arêtes mTn^ sont égaux, l'angle plan lmm^ est égal à 

 l'angle /, m, m et l'angle n,mm, est égal à l'angle nm,m. De l'égalité de ces 

 trièdres, il résulte que V angle Imn^ est égal à l'angle l,m,n. Mais m,l, 

 est égal à rnl, et nous avons démontré que m/i, est égal h m, n; donc les 

 triangles lmnt,l,m,n sont égaux, et, par conséquent, le segment In, est 

 égal à n,l. Ainsi : Si l'on prend sur les hyperboloïdes homofocaux (H), (H,) 

 les points arbitraires l, n et leurs correspondants /, , n, : le segment Int est égal 

 au segment l,n. C'est le théorème d'Ivory qu'il s'agissait d'établir géomé- 

 triquement. 



» Sur un plan parallèle à G et G, projetons ces droites et les coniques 

 que G trace sur les plans principaux pendant la déformation de (H). On 

 obtient ainsi trois coniques concentriques et la projection de G est une 

 normale commune à ces trois courbes. De même pour la projection de G,. 



» Sur ce plan de projection les cordes de ces coniques, qui joignent les 

 pieds de ces normales, étant perpendiculaires à la projection de |j.v, sont 

 parallèles entre elles. Ces normales à ces coniques sont alors également 

 inclinées sur ces cordes et doivent être symétriques par rapport à un axe 

 commun à ces courbes. La projection de la droite ,av se confond alors avec 

 cet axe, c'est-à-dire que cette projection passe par la projection de o. il 

 résulte de là que : le plan, mené par o et la droite [jm, est perpendiculaire à 

 un plan parallèle à G ei G, (' ). 



)) I^e plan (o, av) est alors, en vertu d'une propriété démontrée précé- 

 demment, perpendiculaire au segment dont les extrémités sont les milieux 

 de mn,, m,n, et il passe par le milieu de ce segment; donc les milieux des 

 segments mn. , m, n sont à égales distances de o. 



(') On voit aussi que : si l'on projette, sur un plan parallèle à G et G,, les 

 coniques décrites sur les plans principaux; par les traces de G, on obtient trois 

 coniques concentriques dont les axes sont dirigés suivant les mêmes droites. 



