( 3i4) 



même genre de recherches aux substitutions birationnelles, où ne figure 

 plus une seule série de trois variables homogènes x^ (coordonnées d'un 

 point X du plan), mais encore une seconde série de trois variables homo- 

 gènes Ui (coordonnées d'une droite u du plan). 



» Soit n une pareille substitution, qui remplace l'élément {x, u) du plan 

 par l'élément {y, v), où j est le point et ^-la droite. 



u, Vi 



où l'on a posé 



Xi v^i\x, u) 

 Ui |,V, u) 



(i=i, 2,3), 



='•7/ = ?A^' «)' P*'/ = ^A^' ")' 



Ç; étant un polynôme de dimension p en x^ et q en u^, et i]^, étant un poly- 

 nôme de dimension r en x^ et s en «,. 



)) Considérons deux substitutions de cette nature 



Ui '\'i(x,u) \ 



Xi <f'i (x, u) 

 Ui 'i^'i{x,ii) 



la substitution c'a, produit de n' par cr, sera par définition 



Xi <p; ('?,>!/) ,. „ 



r.C= (i = I,2,J). 



» Je suppose expressément d'ailleurs que les substitutions considérées 

 sont des substitutions de contact, c'est-à-dire ont le contact des figures pour 

 propriété invariante. 



)) Une substitution n, qui vient d'être définie, est linéaire si aucun des 

 quatre entiers p, q, r, s ne dépasse l'unité. 



1) Théorème I. — Une substitution linéaire de contact a l'une des deux 

 formes suivantes : 



Xi 



ou 



T = 



X; 



Ui 



^^ttijXj 

 I 



I 



(forme monistique) 



(forme dualistique), 



