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donnant quelque actualité à ces questions, je voudrais indiquer le second 

 point de vue auquel je me suis placé pour cette notion des périodes des 

 intégrales doubles de fonctions algébriques. 



)) Je considère d'abord une surface algébrique dont les coordonnées s'ex- 

 priment par des fonctions li\ pcrfuchsiennes de deux paramètres u et c. Soit 

 S le domaine fondamental du groupe ; ce domaine à quatre dimensions est 

 limité par certains espaces à trois dimensions, dont les points se corres- 

 pondent respectivement deux à deux par les substitutions fondamentales 

 du groupe et devront, dans la suite, être considérés comme confondus. 

 C'est ainsi que nous disons qu'un espace à m dimensions (m <[ 4)> con- 

 tenu dans (5, est fermé quand les points où cet espace rencontre la limite 

 de 8 se correspondent deux à deux par une substitution du groupe. Nous 

 allons, dans ce qui va suivre, considérer de tels espaces fermés S à deux 

 dimensions, contenus dans ï5. 



» Ceci posé, l'intégrale double de première espèce 



// 



Q{x,Y, z)dxdY 



devient, en remplaçant x,y, z par leur valeur en u et c, 



/ / G(«, \>)dudv, 



où G(u, (') est une fonction uniforme et continue de u et v dans toute 

 l'hyper sphère à l'intérieur de laquelle sont définies a;, j et z. 



)) Envisageons alors cette dernière intégrale double en fiiisant la som- 

 mation ponr le continuum à deux dimensions formé par un espace S défini 

 plus haut; on pourra appeler ces intégrales les périodes de V intégrale double . 



)) Il est manifeste que ces notions s'étendent à des surfaces algébriques 

 quelconques : j'ai raisonné sur une surface dont les coordonnées s'expri- 

 ment par des fonctions hyperfuchsiennes, car le polyèdre fondamental 

 donne une idée extrêmement nette des surfaces S d'intégration corres- 

 pondantes; ce cas particulier conduit immédiatement dans le cas général à 

 la notion de surfaces cycliques d'intégration, analogues aux cycles que l'on 

 rencontre dans la théorie des intégrales abéliennes. Je donnerai prochai- 

 nement quelques exemples des notions générales qui précèdent. » 



