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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la théorie des réciprocants . 

 Note de M. R. Perrin. 



« L'étude des nouvelles formes que M. Sylvester vient d'introduire dans 

 l'Analyse, sous le nom de réciprocants, est notablement simplifiée par l'em- 

 ploi de quelques théorèmes très généraux que je demande à l'Académie la 

 permission de lui communiquer. 



» Si l'on note avec l'illustre géomètre par t, ia, ■i.'ib, 2.3. ^c, ... les 



dérivées -p-, ->— ;> ••■> un réciprocant peut être défini comme une fonction 



de t, a, b, c, ... satisfaisant identiquement à la relation 



_ , , , 1t^/i — a 2 a- — th — 5a^-h5tab — t-c 

 F(t,a,b,c, ...) = oct*F\-,-^, — -, , -, , • 



où les éléments de la seconde parenthèse sont les expressions, en fonction 

 de t, a, b, . . ., des quantités t, a, p, . . . qui leur correspondent quand on 

 regarde y comme variable et x comme fonction de y. 



)) Je dirai que 1 est la classe du réciprocant. C]onservant pour le surplus 

 les notations de M. Svlvester, voici les théorèmes dont il s'agit : 



» I. Si R, R' sont deux réciprocants quelconques (purs ou mixtes) de 



classes 1 et V, >.' R' -. IK-y- sera un réciprocant de classe \ + \' -\- i , et de 



caractère pair ou impair, suivant que R et R' sont ou non de même caractère. 



» J'appellerai ce réciprocant le jacobien J de R et R'. 



» Le théorème, presque évident puisque l'équation J = o résulte de 

 l'élimination de la constante arbitraire k dans l'équation réciprocante 

 R^' = kK^, est facile à établir rigoureusement; d permet de déduire des ré- 

 ciprocants d'ordrey ceux d'ordrey + i , et notamment d'obtenir de proche 

 en proche, en partant des deux protomorphes les plus simples, savoir 

 Ao = a, k^=^ l\ac — ob'-, les protomorphes successifs des divers ordres, 

 dont l'existence devient dès lors évidente. Ainsi le jacobien de AjCtA, 

 n'est autre que le protomorphe du cinquième oi'dre 



[ce qui montre en passant que l'équation différentielle des coniques 

 Aj = o admet comme intégrale première celle-ci, a" — k{l\ac — 5è'-)^ J. 



