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» De même, en ajoutant ^A^ au jacobien de Ao et A. et divisant 

 par ;^Ao, on obtient le protomorphe du sixième ordre 



A3 = 5o«-e — I ']5abd -f- zSac- -+- io5h'-c. 



» Celui du septième ordre A^, que M. Sylvester a calculé au moyen de 



, d ^ , d 



■ -r: -\- bab-,- 



db de 



et Aj, savoir 



son opérateur V = ^a^-ij -^^ah-,- +..., est simplement le jacobien de A 



A, = -^ 

 100 



3Ao^'-^3A3^]. 



» Enfin celui du huitième ordre, Aj, s'obtient d'une manière analogue à 

 A3, en posant 



SoooA^Aj = i75J( A„, A^) + 663A| A3 — 5076A0T, 



T étant le réciprocant connu 8ooa-ce — xoooah-e + . . .; d'où 



A5= l'Aà- g — 63ab/~ i3Soace -t- iL\']oad'- 

 H- 1782^-6 — ^i5Sbcd -h 28 toc', 

 et ainsi de suite. 



» En appliquant l'opérateur V au jacobien de a et d'un réciprocant pur 

 R, on démontre que : 



» II. Tout réciprocant pur T\, de classe >., salis/ait à l'équation différentielle 



v(c) = =*<"'■ 



» Il convient d'ajouter que la réciproque n'a pas lieu. 



)i III. Si R et R' sont deux réciprocants (purs ou mixtes) de classes "k efk'. 



l'expression 



^ , ^ s jyd'R' . , . , ,, , dR d\V 



~hl'(2\'-hi)tR'~ -6ll\l + r^i)bRR' 



sera un réciprocant de classe y. -\-'k' -^ [\, et de caractère pair ou impair, sui- 

 vant que R et R' sont ou non de même caractère. 



)) IV. Si R est un réciprocant quelconque de classe 1, 



5ag-5(o> + ,)^,^+4^(X_,)cR 

 sera un réciprocant de classe 1 -h 5 et de caractère opposé à R. 



