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» Les théorèmes qui suivent concernent des propriétés des réciprocants 

 complètement identiques à celles des sous-invariants ('). 



» V. Les dérivées successives d' un réciprocant {pur ou mixte), prises par 

 rapport à la dérivée de l'ordre le plus élevé qui y figure, sont encore des récipro- 

 cants de caractère alternativement pair ou impair. 



M VI. Soient donnés autant de réciprocants que l'on voudra, purs ou mixtes, 

 du même ordre; si l'on y remplace la dérivée de l'ordre le plus élevé par le 



rapport - de deux variables homogènes, et qu'on les considère comme des 



formes binaires indépendantes aux variables ;, y], tout covariant, invariant ou 

 sous-invariant de ce système de/ormes sera encore un réciprocant. 



» Appc\ons. résidu d'un réciprocant \ii partie qui ne renferme pas la dé- 

 rivée de l'ordre le plus élevé : 



» VII. Tout réciprocant pur est déterminé et complètement calculable lors- 

 qu'on connaît son résidu; la recherche des Gruntlformen se ramène donc à 

 celle de leurs résidus. 



>) VIII. Tout invariant différentiel étant à ta/ois réciprocant pur et sous- 

 invariant, et réciproquement, les théorèmes V, VI, Vil sont vrais pour les in- 

 variants différentiels (-). 



» Je terminerai en donnant l'expression suivante de l'invariant différen- 

 tiel A de M. Halphen, en fonction des protomorphes A^, A,, . . ., A, : 



^ = îTirr(25oA„A,A, + iGAoA;A, - A^A;; - 2375A, A^ - O'iA]). » 



GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE. — Sur la polhodie et l'herpolhodie. 

 Note de M. A. ^Iaxxheim. 



(i Reprenons les notations de mes deux dernières Communications. Le 

 point m de G décrit un ellipsoïde lorsque cette droite se déplace de façon 

 que les points a, p, y, où elle rencontre les plans principaux de (H), restent 

 sur ces plans. De même, le point m appartient à l'ellipsoïde engendré de la 

 même manière au moven de L. La trajectoire (m), que décrit m pendant la 



(') Voir à ce sujet ma Noie sur les résidus des invariants et covarianls des former 

 binaires, tome XI du Bulletin de la Société mathématique de France. 



(-) C'est, d'ailleurs, sur un cas particulier du théorème V, démontré par lui direc- 

 tement pour les invariants difTérenliels, que M. Halphen a fondé sa belle tliéorie de ces 

 formes. 



C. R., 1S86, I" Semestre. (T. 0(1, N° 7.) 4? 



