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staiites. Ces relalioiis montrent que : V ellipsoïde normal à G en n est ho- 

 mofocal à un ellipsoïde homothétique à (E) (' ). 



» Nous avons pris l'ellipsoïde (E) normal à G en m. On a aussi un ellip- 

 soïde normal en /w à L et ce que nous avons dit pour (E) peut se répéter 

 pour ce dernier ellipsoïde, c'est-à-dire que (m) est une poliiodie sur cette 

 surface : donc la courbe (m) est une polhodie de deux manières différentes. 



» J'ai trouvé (^) que la normale en m à une surface du second ordre a 

 pour polaire, par rapport à cette surface, l'axe de courbure de la li gne d' inter- 

 section des surfaces homofocales à celle-ci, qui passent par m. 



» D'après cela, on a l'axe de courbure de la polhodie (m) en prenant, 

 par rapport à (H), la polaire de la normale en m à celte surface. 



» Ceci est vrai pour les axes de courbure de toutes les polhodies dé- 

 crites simultanément par les points de G. Mais les normales à (H) dont les 

 pieds sont sur G forment un paraboloïde de normales à (H); on voit donc 

 que par rapport à (Il ) la polaire réciproque du paraboloïde des normales à 

 cette surface le long de G est i hyperboloide des axes de courbure des tra- 

 jectoires des points de G. 



» Parmi les génératrices de cet hyperboloide, il y a celles qui sont les 

 axes de courbure des trajectoires des points a, [î, y, droites qui sont per- 

 pendiculaires aux plans principaux de (H). Ces droites sont alors parallèles 

 aux arêtes d'un trièdre trircctangle. On peut donc placer un pareil trièdre 

 sur le cône directeur de l'hyperboloïde des axes de courbure des trajectoires 

 des points de G et, par suite, il y a une infinité d'autres trièdres trirec- 

 tangles sur ce cône. La droite G étant une génératrice de cet hyperbo- 

 loide, il y a alors deux génératrices de cette surface qui sont perpendicu- 

 laires entre elles et qui sont perpendiculaires à G ; mais ces génératrices 

 sont des axes de courbure pour des polhodies décrites par deux points 

 de G ; on voit donc (ju'j7 / a deux points de G qui décrivent des polhodies 

 dont les plans osculateurs en ces points sont tangents à la surface (G) en- 

 gendrée par G ; ces deux plans osculateurs sont perpendiculaires l'un à l'autre. 



» L'axe de courbure de la trajectoire d'un point quelconque de G passe 

 par le point où la surface (G) est touchée par le plan normal en ce point 

 à cette trajectoire, plan qui est aussi normal à (G). 



■» D'après cela, le point central sur G décrit une trajectoire qui a pour axe 

 de courbure une parallèle à G ( '). 



(') Darboux, loc. cit. 



(-) Proceediiigs oj Ihe Royal Society (4 mars 1882). 



(^) On peut encoie arriver ainsi à ce résultat. Le plan (0, G) est nonual à (il) au 



