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calcul effectif de ces périodes. De la définition donnée pour les périodes 

 résulte bien aisément le mode de calcul suivant : laissant d'abord x con- 

 stant, prenons l'intégrale 



le long d'un cycle relatif à la relation algébrique entre y et z-, 



/(.v, y, z) — o. 



I/intégrale précédente sera une fonction de x, que nous désignerons par 

 P(.r); on prendra alors, dans le plan delà variable x, l'intégrale 



fn^) 



dx 



le long d'un contour fermé qui soit un cycle pour la période représentée 

 par la fonction multiforme PÇa:;); l'intégrale ainsi obtenue est une période 

 de l'intégrale double. 



» La fonction P(^), qui représente une période de l'intégrale (i), 

 quand x est regardé comme un paramètre arbitraire, satisfait à une équa- 

 tion différentielle linéaire; c'est ce qu'a montré M. Fuchs dans ses belles 

 études sur les modules de périodicité des intégrales abéliennes, considérés 

 comme fonctions d'un paramètre (^Journal de Crelle, t. 71). Les points 

 singuliers de cette équation différentielle correspondent aux valeurs de x 

 pour lesquelles l'équation en y 



(p(a7, y) = o 



a deux ou plusieurs racines égales, en désignant par <p le résultat de l'éli- 

 mination de z entre les deux équations 



f(x,y,z) = o, C(x,y,z) = o. 



» On voit donc comment les périodes des intégrales doubles peuvent 

 être ramenées à des intégrales simples, et quel secours apportera, dans le 

 développement de l'étude de ces périodes, la théorie si perfectionnée au- 

 jourd'hui des équations différentielles linéaires. 



» Nous allons examiner maintenant un cas particulier bien simple; on 

 suppose que les coordonnées x, y, z d'un point quelconque de la surface 

 s'expriment par des fonctions uniformes quadruplement périodiques de 



