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reur commise. On arrive à ce résultat en s'appuyant sur une propriété des 

 fonctions interpolaires que nous allons d'abord faire connaître. 



)i 1. Les fonctions interpolaires successives de/(x), pour les valeurs 

 X,, X.,, iT;,, . . . de la variable sont définies par les relations suivantes : 



^,- , /(a-i, x^) — f{jr„ œ^) f, „ \_ /(■^^i. ^2)— /(■a?i. -^t) 



/(^,,^,,a:;,)= ^^^3-^r ' y(,a:,,a:„a-,)_ ^— -^^ , • 



» M. Peano (^Atti de Turin, 1 882-1 883, p. 673-574) a observé que, si 

 fz est synectique dans le contour d'intégration à l'intérieur duquel on sup- 

 pose a;,, x^, a?.,, ... ; on a 



J{X,,X',)- ^^^.J (,_^^_)(._^^)' 



/{x,,a,,x,)- 27:/ J (z~x,){=-w,)...{z-x,)' 



et, en général, 



-, V _ _i_ r A^)dz 



J{X,X,,X„ ...,X,)- ^^.J (-_^.)(._^.,)...(,_^J- 



» On déduit de cette dernière formule 



d" f, s _ \.-i...n r fzdz 



» L'expression du second membre diffère aussi peu qu'on le veut de 



\.i.Z...n r fzdz ^ 



■ird J {z — x){z—y,^...{z—ya){i — x,)...{z — j-„)' 



y,, y.,, . . . , J„ étant des quantités suffisamment voisines de x. Or, la der- 

 nière intégrale divisée par 27;; est la fonction interpolaire 



f{x, y, , yo, . . . , y„ \x,,x.._, ..., x^). 



» Supposons que la fonction fx soit une fonction réelle, continue ainsi 

 que ses an premières dérivées pour les valeurs x, y, ,.y2» •••» J». ^o 

 X2, ..., a:„ (supposées réelles aussi) et pour les valeurs intermédiaires. 

 Alors, d'après un tliéorème de Cauchy (Œuvres, t. V, p. 418-422), 



/(a%.y,,.y,, ...,.y„; -r,, x^ x„) = 77773777^' 



