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ç, étant une valeur intermédiaire entre la plus grande et la plus petite des 

 valeurs a;,, j,,j'2, ...,7„; J:;,, ^2. •••. ■^n- On a donc enfin 



E, différant de ^ aussi peu qu'on le veut. 



» Celte formule fondamentale, sur laquelle est basé ce qui suit, peut 

 aussi s'établir sans recourir à la théorie des fonctions d'une variable ima- 

 ginaire, en s'appuyant uniquement sur les premiers principes du Calcul dif- 

 férentiel. 



» II. (]ela posé, la formule d'interpolation de Newton peut s'écrire 



f{x) = G (a?) + {x — x^){x — Xi)...{x — x„)/(x,x,,x.,, ...,x„), 

 G(x) étant le polynôme entier, de degré n — i, 

 fx, + {x — x,)f{x„x^)-v... 



-\- \X — X ^) yX — Xnj . . . \X — ^a— 1/ yi^^f'-^St ■••• ^n / > 



tel que 



)) On aura évidemment 

 / \j{x) — Ç,{x)\dx=i (x — x,)...{X'-x„)f{x,x,,...,x,,)dx. 



» Supposons maintenant que x^, x^, x^, ..., x,i soient les n racines 

 réelles et distinctes de l'équation D",(a:;^ — i)'' = o. On aura alors 



L ■ r' '^"^-'-'-'^' f(x X x)dv 



puis, en intégrant n fois par parties, 

 £\f{x)-Q{x)\dx 



ou encore, d'après la formule établie plus haut, 



l^\fix) - G(:r)\dx=.[ ^^^_^^^^^:_^^^^ ^J £\.-x-rr-''(l) dx. 



