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GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE. — Sur l' hyperboloïde articulé et V application de 

 ses propriétés à la démonstration du théorème de M. de Sparre. Note de 

 M. A. Manjvheim. 



« Conservons les notations de mes dernières Communications et, pour 

 le démontrer directement, reprenons ce théorème : 



» Les points e, f, g d'une droite mobile L sont liés par des tiges aux points 

 e ,f' , g' d'une droite fixe O : les autres points de L se déplacent aussi sur des 

 sphères dont les centres sont sur O. 



» Appelons toujours (^| l'hyperboloïde déterminé par ee',^', ^^' pour 



une position de L. Cet hyperboloïde est le lieu des normales aux surfaces 

 trajectoires des points de L. La normale à la surface trajectoire \l\ du 



point arbitraire / de L est la génératrice //' de ( — jj le point l' de O étant 



tel que les rapports anharmoniques des points e', f , g' , l' et des points e, 

 f, g, l soient égaux. Ce point /' est alors bien déterminé indépendamment 

 de la position de L; donc : les normales à la surface \l\ passent par un- 

 même point de O ; cette surface est donc une sphère dont le centre est un point 

 de cette droite. Comme /est arbitraire, le théorème est démontré. 



» Pour le point m, où L est rencontrée par la génératrice de ( — j paral- 

 lèle à O, le centre de la sphère \m\ est à l'infini; on retrouve ainsi que le 

 point m décrit un plan (-) ('). 



)) Supposons que L se déplace normalement aux trajectoires de ses points. 

 Entraînons avec L le plan (ee', L) normalement à la trajectoire (e) de e. 

 La caractéristique de ce plan, qui est l'axe de courbure de (e), passe par e' 

 et par le point t), où ce plan touche la surface (L). Ce point rj est alors 



le point où le plan (ee', L), qui est tangent en e à f- j> est normal à cette 



surface. Ainsi, lorsque L reste normale aux trajectoires de ses points, l'axe 

 de courbure de (e) est la droite qui Joint le point e', où le plan tangent en e à 



( — j coupe O, au point ■/] où ce même plan est normal à cet hyperboloïde. 



» Puisque e et y) sont les points où un plan, qui passe par L, est tangent 



(') Notre démonstration montre bien qu'il n'y aura pas sur L de point décrivant un 

 plan, si les tiges ee', //', gg' appartiennent à un paraboloïde hyperbolique. 



