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 jxir s ni le, 



P„(^) désignant un polynôme en x de degré n. On voit donc qu'une fonc- 

 tion V{x) holomorphc dans S peut se développer dans cette aire en série de 

 polynômes. 



11 Ce développement est d'ailleurs possible d'une inlinité de manières; 

 de plus, les dérivées de F(a;) s'obtiennent en dérivant les termes de la 

 série, ce qui conduit à des séries de même forme. 



» Le raisonnement suppose essentiellement que la fonction F(a7) soit 

 continue sur le contour j; il importe d'examiner le cas où il n'en est pas 

 ainsi. Supposons qu'il existe une fonction de :;, P + iÇ), holomorpbe dans 

 la partie de S voisine de s, continue sur s, et telle que, si l'on pose 



P + tQ = G - a, 



le point a, quand z parcourt s, soit sur la normale en z à s. Considérons 

 dans S l'ensemble des courbes ç, voisines de s, et normales en cbacun de 

 leuis points z i\ la droite joignant ce point z au point a défini par l'égalité 

 précédente. Nous admettons encore que ces courbes sont fermées, sans 

 points communs, et que chacune d'elles est comprise à l'intérieur des 

 cercles qui passent par un de ses points z et ont a pour centre. On peut 

 alors écrire, pour tout point x intérieur à une courbe a, 



Désignons par a' une seconde courbe n comprise entre s et la première; 

 pour tout point x intérieur à g', 



>■(-)= ri: i:X<ï^''<=-^''=- 



Mais 



r(a: — «)" ,v \ 7 /'('^ — «)" r/ \ 7 



X (.-.0-' ^^"^^^"=X (^--»)- ^^"^^'^' 



car la fonction de z placée sous le signe /est holomorphc entre g et a'. Il 



en résulte cjue la série ^P„(a;) converge et représente F(a7) dans S. 



» Tout revient donc à trouver une fonction P -+- îQ jouissant des pro- 

 priétés admises. Soit :;| — 'b(z) une des fonctions qui représentent d'une 



