(<374) 

 manière conforme S sur un cercle a\a!it l'orii^inc pour contre. Si, pour 

 toul point z de s, lesdérivccs ^) -7^^ (/ étant l'arc de courbe) existent et 

 sont continues, nous montrons que la fonction 



pour des valeurs réelles de K suffisamment grandes, répond aux conditions 

 exigées. 



» On peut rapprocher le développement précédent d'un développement 

 qui se déduit de la série de Lagrango. Inéquation 



z = y.x- + (i- y-)zf(z) 



a inic racine qui tend vers zéro avec a. Ap])Iiquons la première forme de 

 la série de Lagrange à l'équation 



G( = ) =^ z — a — y-t-iz) = o, 



et 



a 



n =0 



» D'après la condition connue, cette série converge pour « =: i et repré- 

 sente Y(x) dans une aire S, si, pour tout point x de S, on a, quand z 

 parcourt le contour s, 



<i 



» Si l'on se donnait s, il faudrait montrer qu'îi ce contour, supposé con- 

 vexe, correspond une fonction /(z) telle que cette condition soit satisfaite. 

 Mais la recherche de /(z) revient précisément à celle de la fonction 

 P + îQ, indiquée plus haut. 



» On peut déduire, de ce qui précède, des formes de développements 

 s'appliquant à une aire S absolument quelconque. On est conduit à d'au- 

 tres formes aussi générales, en entourant S de cercles tangents à s et ex- 

 térieurs à S. 



