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» Si les coefficients de S sont entiers, on dit que S est une substitution 

 semblable de la forme F ; si ces coefficients, sans être entiers, sont ration- 

 nels, nous pourrons dire que S est une substitution semblable fractionnaire 

 de F. 



» Si les coefficients de F sont entiers, les substitutions semblables for- 

 ment un groupe discontinu G. A la substitution S faisons correspondre la 



substitution (z, z^r^zi)' ^" groupe G correspondra ainsi un groupe ^ qui 



sera un groupe fuchsieu. 



» Nous sommes ainsi conduits à nous servir de ce que nous savons des 

 groupes fuchsiens pour l'appliquer à l'étude du groupe G. Si nous envisa- 

 geons, par exemple, les cycles formés par les sommets du polvgone géné- 

 rateur, nous verrons d abord cpic la somme des angles d'un cycle ne peut 



être égale qu'à 2-(s'il n'y en a qu'un), à tt, à ^,- à -, à ^ ou à o. 



» Il y aura un cycle où cette somme sera tt, si F peut être transformé par 

 une substitution de déterminant i ou 2 en une forme telle que 



a"z^ -h ax- 4- ih" xj + a' y-. 



» Il y en aura un où cette somme sera - si F peut être transformé par 

 une substitution de déterminant i ou 2 en une forme telle que 



d' z- + ax""- + ay- . 



» Il y en aura un où cette somme sera ^ (ou bien -5- I si F peut être 



transformé par une substitution de déterminant 1 (ou bien 3) en une forme 



telle que 



rï"s='+ 2h\xy - x"" - y-). 



» Il y en aura un où cette somme sera o si F peut représenter o, c'est- 

 à-dire si F satisfait aux conditions du § 299 des Disq. arilhm. Dans ce cas, 

 le groupe fuchsien sera de la deuxième ou de la sixième famille. Dans tous 

 les autres cas, il sera de la première. 



» Il est un autre point sur lequel je désirerais attirer l'attention. On peut 

 se demander s'il existe pour une fonction fuchsienne f{z^ un théorème 

 analogue à ce qu'est le théorème d'addition pour les fonctions elliptiques, 

 c'est-à-dire si l'on peut trouver une relation algébrique entre f{^) 

 et /(z.T), T désignant une substitution linéaire n'appartenant pas au 



