( 7'.i ) 

 M Je dis d'abord qu'il en sera ainsi si l'on a 



lim <-'(«„.-,-«„) =>., 



1 étant un nombre fini quelconque différent de zéro. 



)) Si, en effet, cette condition est remplie, on aura constamment, à 

 partir du terme de rang p, 



p 

 A étant un nombre fini différent de zéro. 



» En élevant les deux termes de la dernière inégalité à la puissance o), 

 on en déduit successivement 



<,V,>a;;' -f-<oA, 



a;V,>a.;'V, + o>A>a;;'+2<oA, 



)) Donc, en négligeant les p premiers termes de la série (i), si l'on élève 

 les suivants à la puissance w, la série ainsi obtenue aura ses termes respec- 

 tivement moindres que ceux de la série 



par suite, si l'on élève les termes à la puissance co + i , ce que l'on peut 

 faire en les élevant d'abord à la puissance co, puis le résultat à la puissance 



- — -, la série ainsi obtenue aura ses termes moindres que ceux de la série 



convergente 



<o A ' ' ' ■ - ^ 



(i + i) (,+1) (i^i) 



ce qui démontre la proposition. 



On en conclut de suite que, si a,,^., — a„ a une limite finie, la fonction est 

 du premier genre: c'est le cas de sin,r, où cette différence est constante. 



» Posons maintenant : 



*n-t-l ^-n ^^^ '■iif •• •' ^n-i-p "*" *n ■^*«' 



^•n+p ^n ^-^ -n "■" 'n-r < . ■ • • "+" tn+p — l — ■* "n» 



et supposons^ pris de telle sorte que <5„ ne tende pas vers zéro, mais puisse 



