» La surface Y'!, est du sixième ordre, c'ost-à-diro qu'un espace à cinq di- 

 mensions la coupe en général suivant une courbe du sixième ordre C', et 

 un espace à quatre dimensions sui\ ant six points. 



» En effet, les deux formes S',,"', S'^" coupent la troisième suivant deux 

 gerbes collinéaires de rayons qui ennendrenl une courbe gauche du troi- 

 sième ordre D'; les points de D' sont situés sur F!;. D'autre part, si l'on 

 considère un espace 2*." de la forme S',,", il contiendra une simple infinité 

 (faisceau de premier ordre) d'espaces à quatre dimensions. Les faisceaux 

 correspondants seront contenus dans 1[^', 2." ; les trois espaces ^j", 2'."', 2'J" 

 se coupent en un espace 2^ ; on aura donc tlans 2i., trois faisceaux de pre- 

 mier ordre de plans, qui engendrent une autre courbe gauche C^ du troi- 

 sième ordre dont les points sont situés sur F^ . Ainsi, on reconnaît cjue tous 

 les espaces 2.; qui contiennent un espace S^ coupent F" suivant deux 

 courbes C'' et D% c'est-à-dire que la surface F" est du sixième ordre, comme 

 on voulait le démontrer. 



» Tous les points de Fl ont les mêmes propriétés. Elle peut être rapportée à 

 un système plan 1.,, de telle manière qu'à chacpte point de Fil corresponde un 

 et un seul point de Zo, et vice versa. 



» Il suffit queio soit rapporté collincairement aux trois formes S',,", S','', 

 S'/'. A tout point de 1^ correspondent alors trois espaces homologues à 

 quatre dimensions des formes et en même temps leur point d'intersection 

 situé sur F.t. Réciproquement, chacpie point M„ de F'" sera représenté 

 sur 2, par le point correspondant aux espaces des trois formes qui se 

 coupent en M„. A chaque droite de 1., correspond une courbe ('.'' engendrée 

 parles espaces homologues 2- correspondant à la droite. 



» A chaque courbe €„ déterminée sur F" par un espace quelconque à cinq 

 dimensions correspond sur 2, une courbe pleine de troisième ordre. '> ■'■'•>• i 



» En effet, un espace à cinq dimensions ne pouvant rencontrer chaque 

 courbe G' en plus de trois points (un espace 2;5 coupe un espace 2^, qui 

 contient C , , suivant un plan), on aura sur le plan 2o une courbe, correspon- 

 dant à C", qui ne pourra rencontrer chaque droite enplusde trois j)oints. 



» Comme six points déterminent un espace à cincj dimensions, et cinq 

 un espace à quatre, on vérifiera facilement que dans 2^ il v a trois points 

 principaux A''\ A'-', A'", par lesquels doivent passer toutes les courbes de 

 troisième ordre y" correspondant à C" de F.'!, c'est-à-dire : 



» Il y a dans 1.^ trois points principaux qui ont pour éléments correspondants 

 sur la surface l"!, trois droites suivant lesquelles se coupent trois espaces homolo • 

 gués à quatre dimensions des formes S.!\ S','", S;,' . 



