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d où 



v'= u + S'm, 

 en posant 



u =^ t -h m — A., V u = 11)' — [j.'. 



» Si l'on regarde <S comme une petite quantité de premier ordre, co' est 

 du second ordre; [^.' est de l'ordre de n<S, c'est-à-dire du second ordre au 

 moins, car n est, en général, beaucoup plus petit que 9. On voit que u est 

 une valeur approchée de v' au second ordre près, de u' à cet ordre près au 

 moins, et que 



(5'h = — 2 tang^^l^f cos(2Ô + u) sinu — n(a'— a^) 



si l'on néglige le troisième ordre. On verrait de la même manière que 



(."= u+'t)"u, 



et avec le même degré d'approximation, si l'on pose 



^"u = — 2 tang^:^î'cos(20 + u) f^inu — n(a"— a^). 



» 2. Dans les équations (i), substituons u -+- Vu à v' , u-\- Vu à v"; déve- 

 loppons les deux membres en ne conservant que les termes du troisième 

 ordre, nous aurons 



(3) sin2(5sinz/ = (a"— a') — a, sin2ScosM = — (A"— A'j — p 



avec 



j a = ^ sin 2Î5 cosîz(!5'« + ^u) + i(«" - «')' + t(«" - «') (^*"' + ^*")' 



)) Les équations (3), si l'on y néglige les quantités du troisième ordre 

 a et p, conduisent instantanément à toutes les formules par lesquelles 

 M. Lœwy calcule ^h et <S. L'erreur commise sur ces coordonnées résulte 

 d'ailleurs immédiatement des expressions (4) de oc, p. Il serait superflu 

 d'entrer ici dans de plus longs détails ou des simplifications pratiques évi- 

 dentes; mais remarquons cependant que négliger a, p revient à remplacer 

 la sphère céleste, dans la région considérée, par son plan tangent en P; 

 ce qui donne un moyen mnémonique de retrouver rapidement les formules 

 de M. Lœwv. » 



