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 la distance du centre O au plan tancent a été nommée h =^ -pi- La suite de 



tous ces plans, construits pour la distance constante A, déterminent sur la 

 surface une courbe à double courbure du quatrième degré, la polhodie de 

 Poinsot. Selon que la distance A est plus grande ou plus petite que le demi- 

 axe moyen b, la polhodie paraît être décrite autour de l'axe le plus grand 

 ou le plus petit de l'ellipsoïde; pour l'égalité h = b, elle dégénère en deux 

 ellipses, dont les plans se coupent sur l'axe moyen. Pour les conditions 

 G > 111) > .1,, l'ellipsoïde se nomme ellipsoïde central, quand G < -A- 4- i)î), et 

 ellipsoïde non central dans le cas inverse. 



» 1. Sur les points d'inflexion de V herpolhodie de V ellipsoïde . — Les pro- 

 positions que j'ai obtenues dans mon travail sont les suivantes : 



» Dans V herpolhodie, des points d'inflexion sont impossibles, si rdlipsoïde 

 roulant est un ellipsoïde central (p. 32). 



» Dans riierpolhodie, des points d'inflexion sontde même impossibles, si V el- 

 lipsoïde roulant est un ellipsoïde non central, la distance entre le plan inva- 

 riable et le centre de l'ellipsoïde étant plus petite que le demi-axe moyen (ibid.). 



n Dans l' herpolhodie Ides points d'inflexion sont non seulement possibles, mais 

 encore nécessaires, si l'ellipsoïde est un ellipsoïde non central, et la distance ci- 

 dessus mentionnée surpassant le demi-axe (^ibid.). 



» Le premier de ces théorèmes a été démontre par tous les auteurs dont 

 j'ai fait mention au commencement; le deuxième se trouve dans le Traité 

 de M. Resal et dans une seconde Note de M. de Sparre ('); le troisième, 

 enfin, ne me semble nulle part précisément énoncé. On ne peut guère dire 

 que dans le cas en question des points d'inflexion peuvent exister, mais 

 qu'ils doivent paraître. 



» Quant aux méthodes de démonstrations, les déductions purement géo- 

 métriques, comme celles de M. IVLannheim, sont très élégantes, mais elles 

 ne sont pas susceptibles de s'appliquer directement^à l'herpolhodie des 

 autres surfaces du second ordre, comme les formules analytiques permet- 

 tent de le faire sans peine. Parmi les dernières, je préférerais celles de 

 M. Resal, qui se distinguent par un haut degré de clarté et de simplicité, 

 pour le cas où il s'agit de démontrer seulement les théorèmes précédents 

 sur les points d'inflexion de l'herpolhodie. Mais, si l'on veut répondre à des 

 questions ultérieures concernant la forme de la courbe, il faut recourir à 

 l'emploi des fonctions elliptiques. C'est, en effet, d'une formule de M. Her- 



(') Comptes rendus, l. CI, p. Sjo-Sjo. 



