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)) 2. Faisons maintenant 



4- \/(-^ — 2moLy-\- (y — 2«p)*H- z-, ?„,,«= -+- sj^m^y.'^ + ^n-f-, 



0,0 ■*" \''m,n Pm.ii P 



m, Il 



la sommation étant étendue aux valeurs entières, positives, négatives et 

 nulles (le m et n, la combinaison m = n = o exceptée. Cette fonction Sj 

 est paire en x et j; elle admet par rapport à x la période 2a et par rapport 

 y j la période 2^; enfin ses pôles sont tous situés dans le plan xOy. Pour 

 toutes les valeurs positives de z, cette fonction est représentée par la 

 série 



(2) e,{cc,y,z- 2a, 2^0 = - -p + B„,o + -^^^-^^-cos — cos^, 



dans laquelle ([x, v) désigne l'expression 77 i /^^ + ^' La quantité Bo,o est 



une constante qui dépend de a et |3, et la somme est étendue à toutes les 

 valeurs, entières positives et nulles de [j. et v, la combinaison jj. = v = o 

 exceptée; de plus, le coefficient 2 du terme général doit être remplacé 

 par I quand l'un des entiers p. ou v est nul. 

 )) 3. Enfin, posons 



r = -I- sjx^ -\-y^ -\- z'^ , 



^ — -\- y/(a7 — 2/Wa)- + (y — 2«|'i)- -I- (s - 2y9y)-, 

 p = + V/4/n^a,'' -4- 4«^fi^ -f-4/' Y . cosip = '-^ ^^— , 



'•p 



Z(a;,j, ;; 2a, 2(i,2y)= -1:4-2' [n " ^ - ^2 P.(cos(p) - i-^P2(coscp)j, 



où p, (cosç), P2(cos(p) sont les deux premiers polynômes de Legendre et 

 où la sommation est étendue à toutes les valeurs entières positives, néga- 

 tives et nulles de m, n, p, la combinaison m = /i =/? = o exceptée. Cette 

 fonction Z vérifie l'équation AZ = o, est paire par rapport à chacune des 

 variables x,y, z et satisfait aux trois relations 



Z(x -+- 2a, j, :;) = Z(x, y, z) -+- A(x -+- a), 

 Z(x,y + 2%z) =Z(x,y,z) + B'Ck + P), 

 Z(x,y,z-h2Y) =:Z(x,y,z) + C"(- + 7), 



