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à deux dimensions F.,, dont les propriétés seront déduites par le même 

 procédé que nous avons suivi ci-dessus. 



') A chaque droite du plan Q, correspond une courbe normale C"'+' de 

 la surface. A chaque section ordinaire de la surface déterminée par un 

 espace K,,„ correspond, dans le plan, une courbe y"'+^ 



» Sur le plan, d y a ^ ^^ ^ _ ( 2„î + i) = "'^"'^+^' + 4 points 



principaux; deux courbes y'"+= auront en commun les points principaux et 

 {m + 2)- "--— '- - 4 = -^ '- pomts, c est-à-dire : 



.. La surface F, est de l'ordre '"^^" + ^' et contient "'^"'^+^^ + 4 droites. 



» 6. Cas particuliers : (m^i, R3) : Surface cubique générale de l'espace 

 ordinaire; (m = 2, Rj) : Surface du septième ordre avec neuf droites. — Elle 

 a été déjà considérée par M. Cremona ('). Cette surface possède aussi 

 trente-six coniques, et une courbe gauche du troisième ordre représentée 

 par la courbe du troisième ordre déterminée par les neuf points principaux. 



» (ot = 3, R,) : Surface du douzième ordre avec treize droites, soixante- 

 dix-huit courbes gauches de troisième ordre, etc. 



» 7. Troisième groupe. — L'espace fondamental sera l'espace Rj,,, à 

 2m dimensions. Les formes du deuxième degré qui engendrent la surface F^ 

 seront <',;,^,, r^;l_^ et sy:„„ S^;i_3, ^Z_^, ...,8^3"- Les éléments des pre- 

 mières formes seront les espaces Ko,„_, , et ceux des autres seront les es- 

 paces 2o,„_2. Tous les éléments correspondants se rencontrent en un point, 

 car 2(2m — i) + {m — \){im — 2) — m. 2m = o. 



)) A chaque droite du plan représentatif correspond une courbe C"'+' de 

 la surface. Chaque section ordinaire de la surface sera représentée par une 

 courbe y'"+' du plan. Sur le plan, il y aura 



(m + i)(m -H 4) m(«i-f-i) . . . . 



2m = — î^ 1- 2 pomts principaux. 



Deux courbes y'""^' du plan se rencontrent dans les points principaux et eu 



, V „ m (/n-\- i) m ( 7?i + 3 ) . „ 



(m + i)^ ^—^ — 2 = — i-^^ — I autres points. Donc : 



M Les surfaces de ce groupe seront de l'ordre "' ^ "' '^ ' — i et contiendront 



— ^ -h 2 droites. 



(') Cremona, Mal/i. Annaleit. Bd. IV, p. 310. M. Cremona n'a pas eu recours à la 

 Géométrie à n dimensions. 



