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 tion serait d'un grand intérêt pour la théorie des surfaces minima algé- 

 briques : 



» A. Déterminer loiUes les surfaces minima algébriques contenant une 

 courbe algébrique donnée; 



ou, plus généralement, 



» B. Déterminer toutes les surfaces minima algébriques inscrites dans une 

 surface algébrique donnée. 



» Aucun de ces problèmes n'a encore été abordé dans toute sa géné- 

 ralité; mais, dans un Mémoire inséré au toiiie XV des Mathematische 

 Annalen, M. Lie a soumis à une discussion approfondie le problème B dans 

 le cas où la surface algébrique donnée est une développable; il résulte de 

 ses belles recherches que le problème peut être complètement résolu si 

 cette développable est un cône, et aussi dans le cas où, la développable 

 étant c[uelconque, on connaît déjà une surface minima inscrite dans cette 

 développable. Nous nous proposons de reprendre ici l'étude de cette 

 cjuestion et nous montrerons, comme nous l'avons déjà fait il y a plusieurs 

 années dans notre enseignement, que l'on peut, et de diverses manières, 

 obtenir la solution complète du problème posé par M. Lie. 



)) 2. Si l'on écrit l'équation du plan tangent à une surface sous la 

 forme 



(i) (« + M,)X -H i{u^ — u)Y -{-(uu, — i) Z + ^ = o, 



on aura, pour toute surface minima, comme l'a montré M. Weierstrass, 



(2) ^= 2M,/(«)+ 2m/,(m,)-(| + UU,)\f'(u) + /■;(«,)]• 



» D'autre part, on définira de la manière la plus générale la dévelop- 

 pable (A) dans laquelle la surface minima doit être inscrite en supposant 

 que, pour les plans tangents de cette surface, u, u,, \ soient des fonctions 

 algébriques données d'une variable auxiliaire t\ et, pour résoudre le pro- 

 blème, il faudra exprimer que l'équation (2) est vérifiée identiquement 

 cpiand on y remplace u, Uy, 'i par leurs expressions en fonction de t. Cette 

 équation (2) contient deux fonctions arbitraires y( a), y, («, ) avec leurs 

 dérivées/'( «),/,'(«,). Si l'on donnait ai^bitrairement l'une de ces deux 

 fonctions, l'équation de condition à laquelle on est conduit en substituant 

 pour u, M|, E leurs expressions en fonction de t serait une véritable équa- 

 tion différentielle qui n'admettrait pas nécessairement de solution algé- 



