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ANALYSE. — Sur une extension d'un théorème de Clebsch relatif aux courbes 

 du quatrième degré; par M. Sylvester. 



« En appliquant un terme quelconque du développement de 



au quantic (x, y, z, . . .y'', on obtient autant de fonctions de degré r, qu'il 

 y a de termes dans chaque fonction. Ij'ensemble de leurs coefficients peut 

 donc être regardé comme la matrice d'un déterminant auquel nous donne- 

 rons le même nom de catalecticant, dont on fait usage dans le cas des 

 formes binaires. 



» On voit très aisément que la matrice catalectique, pour une puissance 

 d'une fonction linéaire de variables, possède cette propriété que chaque 

 déterminant mineur du second ordre qu'elle contient s'évanouit. Consé- 

 quemment, deux colonnes quelconques d'une telle matrice, associées à 

 d'autres colonnes arbitraires, en nombre suffisant pour former une ma- 

 trice carrée nouvelle, feront s'évanouir le déterminant de cette dernière. 



» Or la matrice catalectique d'une somme de puissances de fonctions 

 linéaires des mêmes variables est la somme des matrices qui appartiennent 

 à chacune prise séparément; donc, comme conséquence immédiate de cette 

 propriété dont nous avons parlé, si le nombre de ces matrices est moindre 

 que l'ordre de chacune, le déterminant de leur somme s'évanouira, car il 

 pourra être résolu dans une somme de déterminants dont chacun aura la 

 valeur zéro ('). 



» 1° Prenons deux variables . Le catalecticant sera de l'ordre -/i + i ; on 

 retrouve ainsi cette règle bien connue, et qui ne contient rien d'excep- 

 tionnel ni de paradoxal : pour qu'une forme binaire d'ordre 2v) soit équi- 



(') S'il y a n matrices, chacune de l'ordre N (de sorte que N est le nombre des co- 

 lonnes dans ciiaque matrice), on associera à volonté la première colonne d'une quel- 

 conque des n matrices avec la seconde, avec la troisième, etc. colonne, prises ou 

 dans la même ou dans aucune autre matrice, en sorte que le nombre des nouvelles 

 matrices partielles sera «". Il est évident que, N étant par hypothèse plus grand que«, 

 deux colonnes au moins de chaque matrice ainsi formée appartiendront à une même 

 matrice fondamentale, c'est-à-dire à la matrice catalectique d'une puissance d'une fonc- 

 tion linéaire des variables. N'oilà la raison pour laquelle chacun des n^ déterminants 

 partiels est égal à zéro. 



