( i533 ) 



valente à la somme de vi puissances de fonctions linéaires, il faut que le 

 catalecticant de la forme soit nul. 



» 2" Prenons trois variables et faisons yi = 2 : l'ordre du déterminant 

 catalectique de (ax -\-by -^ cz)'' étant 6, le catalecticant de 



= 1 



0=5 



» Cela donne le théorème de Clebsch, à savoir que le premier membre 

 de l'équation d'une courbe du quatrième degré n'est pas, en général, expri- 

 mable en une somme de cinq puissances de fonctions linéaires des va- 

 riables. 



» 3" Prenons cinq variables, en faisant encore -n =^ 2. L'ordre du déter- 

 minant catalectique (^ax -hby -\- CZ + dt -h euy étant i5, le catalecti- 

 cant de 



D = i 

 = 1'. 



s'évanouit. 



M Or 5 X i4 = 70, ce qui est justement le nombre - — '-4^, des coeffi- 

 ' '■ ■' 1.2.0.4 



cients de {x,y, z, t, u)'' . 



» On arrive ainsi à cette conclusion nouvelle, et un peu paradoxale, que 

 l'équation d'une hypersurface du quatrième degré, bien que contenant le 

 même nombre de constantes que la somme de i/j puissances biqiuidra- 

 tiques de fonctions linéaires des variables, ne peut pas en général être 

 exprimée comme une telle somme; car, pour que cela fût possible, ilfau- 

 di'ait que le catalecticant de l'hypersurface s'évanouit; 



» 4° Prenons encore tj = 2, et considérons la somme de 9 puissances 

 quatrièmes de fonctions linéaires de x,y, z, l. Le catalecticant de cette 

 somme sera de l'ordre 10 et, conséquemment, zéro. 



» Donc le premier membre de l'équation d'une surface du quatrième 

 degré qui ne contient que 35 constantes ne peut pas en général être mis 

 sous la forme d'une somme de 9 puissances de fonctions linéaires des va- 

 riables, quoique cette somme contienne 36 constantes disponibles. 



» Ce résultat pour les surfaces est, on le voit, un peu plus paradoxal, 

 en apparence, que le théorème de Clebsch, sur les courbes du quatrième 

 degré, qiioiqu'en effet il n'y ait aucun paradoxe, ni dans l'un ni dans l'autre 

 de ces théorèmes, pour ceux qui sont convaincus qu'on ne doit jamais se 



